Chủ đề này có 12 trả lời

[doanminhhien127]

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2$

[leminhnghiatt]

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2$

 

$\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\sum \dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}} \geq \sum \dfrac{2a}{a+b+c}=2$

 

Dấu "=" k xảy ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 21-05-2016 - 20:17

[linhphammai]

$\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\sum \dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}} \geq \sum \dfrac{2a}{a+b+c}=2$

 

Dấu "=" k xảy ra

Nếu cho a,b,c là các số thực dương thì dấu = không xảy ra

nhưng nếu cho a,b,c là các số thực không âm thì vẫn xảy ra dấu =

xảy ra tại điểm a=0, b=c và các hoán vị

Nếu đề cho là các số thực không âm thì có lẽ nó sẽ khó hơn...

[iloveyouproht]

Đã trả lời tại đây : http://diendantoanho...-2/#entry633507

[lily evans]

Nếu cho a,b,c là các số thực dương thì dấu = không xảy ra

nhưng nếu cho a,b,c là các số thực không âm thì vẫn xảy ra dấu =

xảy ra tại điểm a=0, b=c và các hoán vị

Nếu đề cho là các số thực không âm thì có lẽ nó sẽ khó hơn...

Cũng không khó hơn lắm đâu 

Với $a,b,c>0$ thì chứng minh như bạn leminhnghiatt

Nếu một trong ba số bằng 0 thì giả sử a=0, ta có:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$

Dấu bằng sẽ xảy ra như bạn nói

[PlanBbyFESN]

Bài này được thảo luận kĩ ở ĐÂY!

[linhphammai]

Cũng không khó hơn lắm đâu 

Với $a,b,c>0$ thì chứng minh như bạn leminhnghiatt

Nếu một trong ba số bằng 0 thì giả sử a=0, ta có:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$

Dấu bằng sẽ xảy ra như bạn nói

mình thấy cái này có vẻ không được tự nhiên lắm

bạn có cách nào khác không

[PlanBbyFESN]

 

 

 

 

Bạn nên hiểu rằng cách trên là cách duy nhất để CM BĐT trên bạn ạ!

 

 

$ \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \ge 2 $

 

Ta có: $ \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{2a}{2\sqrt{a(b+c)}} \ge \dfrac{2a}{a+b+c} $

 

Tương tự $ \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge \dfrac{2b}{a+b+c}, \sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \dfrac{2c}{a+b+c} $

 

Suy ra $ \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \ge 2 $

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (a;b;c)=(t;t;0)$

 

 

Dấu "=" xảy ra có một biến bằng 0 là VÌ:

 

Khi có $\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$ thì ta có hai dấu "=" có hai trường hợp:

 

$\begin{bmatrix} a=b+c & \\ a=0 & \end{bmatrix}$

 

 

Bài này được thảo luận kĩ ở ĐÂY!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 22-05-2016 - 17:42

[lily evans]

Bạn nên hiểu rằng cách trên là cách duy nhất để CM BĐT trên bạn ạ!

 

 

 

 

Dấu "=" xảy ra có một biến bằng 0 là VÌ:

 

Khi có $\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$ thì ta có hai dấu "=" cso hai trường hợp:

 

$\begin{bmatrix} a=b+c & \\ a=0 & \end{bmatrix}$

Mình hơi thắc mắc một tí:

Trường hợp kia chỉ cho a=b+c thôi, còn a=0 là trường hợp  khác mà?

mình thấy cái này có vẻ không được tự nhiên lắm

bạn có cách nào khác không

 

Với a,b,c không âm thì mình nghĩ mình  giải trường hợp 2 đúng rồi, vì thầy mình cũng bảo thế mà     

[PlanBbyFESN]

Mình hơi thắc mắc một tí:

Trường hợp kia chỉ cho a=b+c thôi, còn a=0 là trường hợp  khác mà?

 

Mình nói kĩ vậy mà bạn cũng không hiểu là sao nhỉ:

 

$a,b,c\geq 0$

 

$\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2}{a+b+c}$ Đây là một biểu thức cho dấu "=" là $a=b+c$ nhưng khi nhân $a$ vào thì phải lưu ý $a\geq 0$

 

Nên $a=0$ thì BĐT $\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$ cũng xảy ra.

 

Vì vậy BĐT trên có 2 dấu "=" là $a=b+c$ và $a=0$.

 

Còn với bài toán này thì 3 biến không thể "=" nhau nên ta lấy dấu "=" là $a=0$ còn 2 biến còn lại "=" nhau. ($b=c$)

[lily evans]

Nên $a=0$ thì BĐT $\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$ cũng xảy ra.

Bạn đừng nóng...Với a=0 thì a(b+c)=0, phân số bên trái không xác định.

Vì vậy phải giải thêm trường hợp thứ hai bạn ạ       

[PlanBbyFESN]

Bạn đừng nóng...Với a=0 thì a(b+c)=0, phân số bên trái không xác định.

Vì vậy phải giải thêm trường hợp thứ hai bạn ạ       

 

Muốn tự sát thật:

 

Mình hiểu ý bạn, lúc đầu mình gặp bài này mình cũng có thắc mắc với thầy và thầy nói chữ "Không âm" là mình hiểu ngay!

 

Bạn cứ nghĩ kĩ là hiểu, mình giải thích kĩ hết sức rồi

 

p/s: Nóng gì đâu  

       Nếu có gì thắc mắc bạn inbox hoặc hỏi giáo viên, ở đây không hợp lí lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 23-05-2016 - 10:10

[twotwo]

Nên $a=0$ thì BĐT $\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$ cũng xảy ra.

Với $a\geq 0$ thì $\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$. Cái đó đúng rồi( như bạn nói)

Nhưng BĐT $\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$ lại chỉ đúng với a>0 thôi, còn a=0 thì VT không tồn tại.

Tóm lại bạn đúng nhưng tôi bắt bẻ chỗ này tí