Đến nội dung

Hình ảnh

$ |a-b|>\sqrt{3ab}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn $(a^2+ab+b^2)|ab(a+b)$ 

Chứng minh rằng $ |a-b|>\sqrt[3]{3ab}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 21-05-2016 - 20:19


#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Bài này là của Nga 2001 . Lâu lâu chả đăng bài nào nên tiện đăng luôn :P 
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$ 
Ta có $\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{d^3xy(x+y)}{d^2(x^2+xy+y^2)}=\frac{dxy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$ 
Bởi vì $gcd(x,y)=1$ đo đó $gcd(x,x^2+xy+y^2)=gcd(y,x^2+xy+y^2)=gcd(x+y,x^2+xy+y^2)=1$ 
Suy ra $x^2+xy+y^2|d$ suy ra $d \ge x^2+xy+y^2 \Leftrightarrow (|a-b)|)^3=d^3.|x-y|^3 \ge d^3 \ge d^2(x^2+xy+y^2)>d^2xy=ab$ 
Suy ra $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$ 
P/s : Hình như bạn đánh đề nhầm $\sqrt[3]{ab}$ đúng không ? 



#3
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn $(a^2+ab+b^2)|ab(a+b)$ 

Chứng minh rằng $ |a-b|>$  $\sqrt[3]{3ab}$

 

Bài này là của Nga 2001 . Lâu lâu chả đăng bài nào nên tiện đăng luôn :P 
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$ 
Ta có $\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{d^3xy(x+y)}{d^2(x^2+xy+y^2)}=\frac{dxy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$ 
Bởi vì $gcd(x,y)=1$ đo đó $gcd(x,x^2+xy+y^2)=gcd(y,x^2+xy+y^2)=gcd(x+y,x^2+xy+y^2)=1$ 
Suy ra $x^2+xy+y^2|d$ suy ra $d \ge x^2+xy+y^2 \Leftrightarrow (|a-b)|)^3=d^3.|x-y|^3 \ge d^3 \ge d^2(x^2+xy+y^2)>d^2xy=ab$ 
Suy ra $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$ 
P/s : Hình như bạn đánh đề nhầm $\sqrt[3]{ab}$ đúng không ? 

Mình xin lỗi. Đã sửa. Nhưng để không phải như cậu nói. 



#4
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

Bài này là của Nga 2001 . Lâu lâu chả đăng bài nào nên tiện đăng luôn :P 
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$ 
Ta có $\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{d^3xy(x+y)}{d^2(x^2+xy+y^2)}=\frac{dxy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$ 
Bởi vì $gcd(x,y)=1$ đo đó $gcd(x,x^2+xy+y^2)=gcd(y,x^2+xy+y^2)=gcd(x+y,x^2+xy+y^2)=1$ 
Suy ra $x^2+xy+y^2|d$
suy ra $d \ge x^2+xy+y^2 \Leftrightarrow (|a-b)|)^3=d^3.|x-y|^3 \ge d^3 \ge d^2(x^2+xy+y^2)>d^2xy=ab$ 
Suy ra $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$ 
P/s : Hình như bạn đánh đề nhầm $\sqrt[3]{ab}$ đúng không ? 

Mình nghĩ là từ đây thì áp dụng $AM-GM$ $a\geq x^2+xy+y^2\geq 3\sqrt[3]{(xy)^2}> 3xy$



#5
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Mình nghĩ là từ đây thì áp dụng $AM-GM$ $a\geq x^2+xy+y^2\geq 3\sqrt[3]{(xy)^2}> 3xy$

ý cậu là sao ?



#6
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

ý cậu là sao ?

ý mình là như mình đã viết



#7
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

ý mình là như mình đã viết

cậu tô nhiều quá nên mình chả biết từ đâu với lại tại sao $a \ge x^2+xy+y^2$ ?



#8
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

cậu tô nhiều quá nên mình chả biết từ đâu với lại tại sao $a \ge x^2+xy+y^2$ ?

mình xin lỗi 

$d$ chứ không phải $a$ nhé

khai thác từ đoạn đầu của cậu mà ? 



#9
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

mình xin lỗi 

$d$ chứ không phải $a$ nhé

khai thác từ đoạn đầu của cậu mà ? 

Ừ thì cũng tùy cậu thôi vì nếu theo cách cậu còn phải biện luận nếu $a=b$ thì sao nữa mà 
$x^2+xy+y^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2xyy^2}=3xy$ mà :) 



#10
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

Ừ thì cũng tùy cậu thôi vì nếu theo cách cậu còn phải biện luận nếu $a=b$ thì sao nữa mà 
$x^2+xy+y^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2xyy^2}=3xy$ mà :)

mình đính chính lại đề rồi mà? Nếu làm như cậu ở đoạn cuối thì đâu chứng minh được đề bài yêu cầu?!



#11
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

mình đính chính lại đề rồi mà? Nếu làm như cậu ở đoạn cuối thì đâu chứng minh được đề bài yêu cầu?!

ừ tớ bị nhầm xí ,bởi vì bài Russian MO 2001 cũng giống bài này cơ mà yếu hơn (không có số 3) . Mà đó là hướng của mình thôi :) Tùy cậu 



#12
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

bài này xuất hiện trong đề thi thử Ams năm ngoái nhé bạn :) 

http://vndoc.com/de-...terdam/download



#13
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

bài này xuất hiện trong đề thi thử Ams năm ngoái nhé bạn :)

http://vndoc.com/de-...terdam/download

Chính xác :') mình định tìm kiếm cách hay hơn :') 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh