Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn $(a^2+ab+b^2)|ab(a+b)$
Chứng minh rằng $ |a-b|>\sqrt[3]{3ab}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 21-05-2016 - 20:19
Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn $(a^2+ab+b^2)|ab(a+b)$
Chứng minh rằng $ |a-b|>\sqrt[3]{3ab}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 21-05-2016 - 20:19
Bài này là của Nga 2001 . Lâu lâu chả đăng bài nào nên tiện đăng luôn
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$
Ta có $\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{d^3xy(x+y)}{d^2(x^2+xy+y^2)}=\frac{dxy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$
Bởi vì $gcd(x,y)=1$ đo đó $gcd(x,x^2+xy+y^2)=gcd(y,x^2+xy+y^2)=gcd(x+y,x^2+xy+y^2)=1$
Suy ra $x^2+xy+y^2|d$ suy ra $d \ge x^2+xy+y^2 \Leftrightarrow (|a-b)|)^3=d^3.|x-y|^3 \ge d^3 \ge d^2(x^2+xy+y^2)>d^2xy=ab$
Suy ra $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$
P/s : Hình như bạn đánh đề nhầm $\sqrt[3]{ab}$ đúng không ?
Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn $(a^2+ab+b^2)|ab(a+b)$
Chứng minh rằng $ |a-b|>$ $\sqrt[3]{3ab}$
Bài này là của Nga 2001 . Lâu lâu chả đăng bài nào nên tiện đăng luôn
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$
Ta có $\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{d^3xy(x+y)}{d^2(x^2+xy+y^2)}=\frac{dxy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$
Bởi vì $gcd(x,y)=1$ đo đó $gcd(x,x^2+xy+y^2)=gcd(y,x^2+xy+y^2)=gcd(x+y,x^2+xy+y^2)=1$
Suy ra $x^2+xy+y^2|d$ suy ra $d \ge x^2+xy+y^2 \Leftrightarrow (|a-b)|)^3=d^3.|x-y|^3 \ge d^3 \ge d^2(x^2+xy+y^2)>d^2xy=ab$
Suy ra $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$
P/s : Hình như bạn đánh đề nhầm $\sqrt[3]{ab}$ đúng không ?
Mình xin lỗi. Đã sửa. Nhưng để không phải như cậu nói.
Bài này là của Nga 2001 . Lâu lâu chả đăng bài nào nên tiện đăng luôn
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$
Ta có $\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{d^3xy(x+y)}{d^2(x^2+xy+y^2)}=\frac{dxy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$
Bởi vì $gcd(x,y)=1$ đo đó $gcd(x,x^2+xy+y^2)=gcd(y,x^2+xy+y^2)=gcd(x+y,x^2+xy+y^2)=1$
Suy ra $x^2+xy+y^2|d$ suy ra $d \ge x^2+xy+y^2 \Leftrightarrow (|a-b)|)^3=d^3.|x-y|^3 \ge d^3 \ge d^2(x^2+xy+y^2)>d^2xy=ab$
Suy ra $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$
P/s : Hình như bạn đánh đề nhầm $\sqrt[3]{ab}$ đúng không ?
Mình nghĩ là từ đây thì áp dụng $AM-GM$ $a\geq x^2+xy+y^2\geq 3\sqrt[3]{(xy)^2}> 3xy$
Mình nghĩ là từ đây thì áp dụng $AM-GM$ $a\geq x^2+xy+y^2\geq 3\sqrt[3]{(xy)^2}> 3xy$
ý cậu là sao ?
ý cậu là sao ?
ý mình là như mình đã viết
ý mình là như mình đã viết
cậu tô nhiều quá nên mình chả biết từ đâu với lại tại sao $a \ge x^2+xy+y^2$ ?
cậu tô nhiều quá nên mình chả biết từ đâu với lại tại sao $a \ge x^2+xy+y^2$ ?
mình xin lỗi
$d$ chứ không phải $a$ nhé
khai thác từ đoạn đầu của cậu mà ?
mình xin lỗi
$d$ chứ không phải $a$ nhé
khai thác từ đoạn đầu của cậu mà ?
Ừ thì cũng tùy cậu thôi vì nếu theo cách cậu còn phải biện luận nếu $a=b$ thì sao nữa mà
$x^2+xy+y^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2xyy^2}=3xy$ mà
Ừ thì cũng tùy cậu thôi vì nếu theo cách cậu còn phải biện luận nếu $a=b$ thì sao nữa mà
$x^2+xy+y^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2xyy^2}=3xy$ mà
mình đính chính lại đề rồi mà? Nếu làm như cậu ở đoạn cuối thì đâu chứng minh được đề bài yêu cầu?!
mình đính chính lại đề rồi mà? Nếu làm như cậu ở đoạn cuối thì đâu chứng minh được đề bài yêu cầu?!
ừ tớ bị nhầm xí ,bởi vì bài Russian MO 2001 cũng giống bài này cơ mà yếu hơn (không có số 3) . Mà đó là hướng của mình thôi Tùy cậu
bài này xuất hiện trong đề thi thử Ams năm ngoái nhé bạn
Chính xác :') mình định tìm kiếm cách hay hơn :')
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh