Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $4^{x}+3^{y}=z^{2}$
Tìm x,y,z nguyên dương
Bắt đầu bởi xuantungjinkaido, 21-05-2016 - 20:53
#2
Đã gửi 21-05-2016 - 21:56
Minhnguyenthe333
-
- Thành viên
-
- 804 Bài viết
Trung úy
Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $4^{x}+3^{y}=z^{2}$
$PT<=>(z-2^x)(z+2^x)=3^y$ mà $\gcd(z-2^x,z+2^x)=1$
nên $z-2^x=1$ và $z+2^x=3^a$
$<=>2^{x+1}=3^a-1<=>3^a=2^{x+1}+1$ $(*)$
Xét $x=1=>PT$ vô nghiệm
Xét $x=2=>a=y=2<=>z=5$
Xét $x>2$:
$C1:$ Dễ thấy $2^{x+1}+1=3^kp$ với $(k,p$ là số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố $)$
$<=>3^kp=3^a<=>p=3^{a-k}$ (vô lí)
Suy ra $PT(*)$ vô nghiệm khi $x>2$
$C2:$ Áp dụng định lý $Zsigmondy$ suy ra $2^{x+1}+1$ tồn tại thừa số nguyên tố $p$ sao cho $2^{2+1}+1=9$ không chia hết cho $p$
Điều này vô lí nên $PT(*)$ vô nghiệm
Suy ra $(x,y,z)=(2,2,5)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 22-05-2016 - 21:37
- xuantungjinkaido yêu thích
#3
Đã gửi 21-05-2016 - 22:42
xuantungjinkaido
-
- Thành viên
-
- 109 Bài viết
Trung sĩ
$PT<=>(z-2^x)(z+2^x)=3^y$ mà $\gcd(z-2^x,z+2^x)=1$
nên $z-2^x=1$ và $z+2^x=3^a$
$<=>2^{x+1}=3^a-1<=>3^a=2^{x+1}+1$ $(*)$
Xét $x=1=>PT$ vô nghiệm
Xét $x=2=>a=y=2<=>z=5$
Xét $x>2$:
$C1:$ Dễ thấy $2^{x+1}+1=3p$ với $(p$ là số nguyên tố $)$
$<=>3p=3^a<=>p=3^{a-1}$ (vô lí)
Suy ra $PT(*)$ vô nghiệm khi $x>2$
$C2:$ Áp dụng định lý $Zsigmondy$ suy ra $2^{x+1}+1$ tồn tại thừa số nguyên tố $p$ sao cho $2^{2+1}+1=9$ không chia hết cho $p$
Điều này vô lí nên $PT(*)$ vô nghiệm
Suy ra $(x,y,z)=(2,2,5)$
mình mới thcs thôi bạn à,cái định lý cuối mình ko biết?
#4
Đã gửi 22-05-2016 - 16:13
Minh Hieu Hoang
-
- Banned
-
- 307 Bài viết
Sĩ quan
$PT<=>(z-2^x)(z+2^x)=3^y$ mà $\gcd(z-2^x,z+2^x)=1$
nên $z-2^x=1$ và $z+2^x=3^a$
$<=>2^{x+1}=3^a-1<=>3^a=2^{x+1}+1$ $(*)$
Xét $x=1=>PT$ vô nghiệm
Xét $x=2=>a=y=2<=>z=5$
Xét $x>2$:
$C1:$ Dễ thấy $2^{x+1}+1=3p$ với $(p$ là số nguyên tố $)$
$<=>3p=3^a<=>p=3^{a-1}$ (vô lí)
Suy ra $PT(*)$ vô nghiệm khi $x>2$
$C2:$ Áp dụng định lý $Zsigmondy$ suy ra $2^{x+1}+1$ tồn tại thừa số nguyên tố $p$ sao cho $2^{2+1}+1=9$ không chia hết cho $p$
Điều này vô lí nên $PT(*)$ vô nghiệm
Suy ra $(x,y,z)=(2,2,5)$
giải thích giúp mình
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#5
Đã gửi 22-05-2016 - 16:41
Hoangtheson2611
-
- Thành viên
-
- 435 Bài viết
Sĩ quan
#6
Đã gửi 22-05-2016 - 20:54
xuantungjinkaido
-
- Thành viên
-
- 109 Bài viết
Trung sĩ
$PT<=>(z-2^x)(z+2^x)=3^y$ mà $\gcd(z-2^x,z+2^x)=1$
nên $z-2^x=1$ và $z+2^x=3^a$
$<=>2^{x+1}=3^a-1<=>3^a=2^{x+1}+1$ $(*)$
Xét $x=1=>PT$ vô nghiệm
Xét $x=2=>a=y=2<=>z=5$
Xét $x>2$:
$C1:$ Dễ thấy $2^{x+1}+1=3p$ với $(p$ là số nguyên tố $)$
$<=>3p=3^a<=>p=3^{a-1}$ (vô lí)
Suy ra $PT(*)$ vô nghiệm khi $x>2$
$C2:$ Áp dụng định lý $Zsigmondy$ suy ra $2^{x+1}+1$ tồn tại thừa số nguyên tố $p$ sao cho $2^{2+1}+1=9$ không chia hết cho $p$
Điều này vô lí nên $PT(*)$ vô nghiệm
Suy ra $(x,y,z)=(2,2,5)$
sao lại có cách này
#7
Đã gửi 22-05-2016 - 21:35
Hoangtheson2611
-
- Thành viên
-
- 435 Bài viết
Sĩ quan
Công nhận chỗ này khi x=8 thì 3p = 513 nên p=171 không phải số nguyên tốsao lại có cách này
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
