Chủ đề này có 1 trả lời

[leanh9adst]

Cho $a,b,c$ nguyên dương thỏa mãn $a^4  \vdots  b ;b^4 \vdots c, c^4 \vdots a$. Cmr $(a+b+c)^{21} \vdots abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 22-05-2016 - 15:52
$\LaTeX$

[I Love MC]

Bài này bạn nên đăng ở bên box số học == 
Gọi $p$ là ước nguyên tố của $abc$ 
Theo giả thiết bài toán suy ra $p|b|a^4$ suy ra $p|a|c^4 \Rightarrow p|b$ ($p$ là số nguyên tố) . Chứng tỏ $a,b,c$ đều có ước chung là $p$ 
Đặt $v_p(a)=m,v_p(b)=n,v_p(c)=k$ 
Ta có giả sử $m=min\{m,n,k\}$ 
Vì $b|a^4$ suy ra $n \le 4m$ . Chứng minh tương tự cũng được $k \le 4n,m \le 4k$  suy ra $m+n+k \le 5n+m \le 20m+m=21m$
Do đó $v_p((a+b+c)^{21})=21.v_p(a+b+c) \ge 21.min\{m,n,k\}=21m \ge m+n+k=v_p(abc)$  
Chứng minh tương tự với các ước nguyên tố khác . Ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 22-05-2016 - 15:22