Chủ đề này có 4 trả lời

[Ego]

Cho dãy $\{u_{n}\}$ xác định bởi $$\begin{cases} u_{0} = u_{1} = 1 \\ u_{n + 2} = \sqrt{u_{n + 1}} + \sqrt{u_{n}}\end{cases}$$ Chứng minh rằng dãy $\{u_{n}\}$ hội tụ và tìm giới hạn đó.

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho dãy $\{u_{n}\}$ xác định bởi $$\begin{cases} u_{0} = u_{1} = 1 \\ u_{n + 2} = \sqrt{u_{n + 1}} + \sqrt{u_{n}}\end{cases}$$ Chứng minh rằng dãy $\{u_{n}\}$ hội tụ và tìm giới hạn đó.

 

Ta xét hai dãy phụ:

$$(a_n):\left\{\begin{matrix}a_1=4 \\ a_{n+1}=2\sqrt{a_n} \; \;,n=1,2,3,... \end{matrix}\right.$$

$$(b_n):\left\{\begin{matrix}b_1=1 \\ b_{n+1}=2\sqrt{b_n} \; \;,n=1,2,3,... \end{matrix}\right.$$

Ta sẽ chứng minh $\lim a_n=\lim b_n=4$.

 

Thật vậy,

Ta thấy $\left \{ a_n \right \}$ là dãy hằng và $a_n=4$ nên $\lim a_n=4$.

Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh $\lim b_n=4$.

Trước tiên, bằng quy nạp ta sẽ chứng minh được $b_n < 4$.

Với $n=1$, $b_1=1 < 4$. (đúng)

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k \; (k \geq 2)$, ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$.

Từ công thức xác định dãy, ta có: $b_{k+1}=2\sqrt{b_k} < 2.\sqrt{4}=4$ (theo giả thiết quy nạp)

Vậy theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề được chứng minh.

Mặt khác, từ công thức xác định dãy, ta cũng có $\left \{ b_n \right \}$ là dãy dương.

Xét hiệu, $b_{n+1}-b_{n}=\sqrt{b_n}\left( 2-\sqrt{b_n} \right) < 0$ (vì $b_n \leq 4$)

Do đó, $\left \{ b_n \right \}$ là dãy tăng, bị chặn trên bởi $4$ nên tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim b_n =4$.

 

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $$b_n \leq \text{min} \left \{ u_{2n}, \; u_{2n+1} \right \} \leq \text{max} \left \{ u_{2n}, \; u_{2n+1} \right \} \leq a_n$$

Với $n=0$, ta có: $1=b_1 \leq \text{min} \left \{ u_0; \; u_1 \right \} \leq \text{max} \left \{ u_0; \; u_1 \right \} \leq a_1=4$. (đúng)

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k \;, k=1,2,3,...$ tức là

$$b_k \leq \text{min}\left \{ u_{2k}, \; u_{2k+1} \right \} \leq \text{max}\left \{ u_{2k}, \; u_{2k+1} \right \} \leq a_k$$

Khi đó, $$u_{2k+2}=\sqrt{u_{2k}}+\sqrt{u_{2k+1}} \geq 2\sqrt{b_k} =b_{k+1}$$

$$\Rightarrow u_{2k+3}=\sqrt{u_{2k+1}}+\sqrt{u_{2k+2}} \geq \sqrt{b_k}+\sqrt{b_{k+1}} > 2 \sqrt{b_{k}}=b_{k+1}$$

Tương tự thì, 

$$u_{2k+2}=\sqrt{u_{2k}}+\sqrt{u_{2k+1}} \leq 2\sqrt{a_k} =a_{k+1}$$

$$\Rightarrow u_{2k+3}=\sqrt{u_{2k+1}}+\sqrt{u_{2k+2}} \leq \sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}} = 2 \sqrt{a_{k}}=a_{k+1}$$

Do đó, mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$.

Vậy theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề được chứng minh.

 

Mặt khác, theo chứng minh ở đầu bài ta có $\lim a_n=\lim b_n=4$,

Suy ra, theo nguyên lý kẹp, ta có $\lim u_{2n}=\lim u_{2n+1}=4$.

Nên dãy $\left \{ u_n \right \}$ hội tụ và tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim u_n =4$.$\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 22-05-2016 - 18:40

[Ego]

 

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $$b_n \leq \text{min} \left \{ u_{2n}, \; u_{2n+1} \right \} \leq \text{max} \left \{ u_{2n}, \; u_{2n+1} \right \} \leq a_n$$

Anh có thắc mắc là tại sao em lại nghĩ đến điều này?

[Quoc Tuan Qbdh]

Anh có thắc mắc là tại sao em lại nghĩ đến điều này?

À thực ra bài này ở trong đề Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình lớp 11 năm 2013-2014 (vòng 2) nhưng đề Tỉnh không cho giá trị cụ thể của $u_1, u_2$.

Chỗ đó em nghĩ ghi là $u_{2n}$ và$u_{2n+1}$ cũng được.

Theo em thì từ công thức xác định dãy thì ta sẽ phải lợi dụng liên hệ giữa ba số liên tiếp trong dãy. Vì thế sẽ chia dãy $\left \{ u_n \right \}$ ra hai dãy

và lẻ tức $\left \{ u_{2n} \right \}$ và $\left \{ u_{2n+1} \right \}$.

Mặt khác, lợi dụng tính đơn điệu của hai dãy có cùng giới hạn hữu hạn: $\left \{ a_n \right \}$ và $\left \{ b_n \right \}$ ta sẽ kẹp hai số $u_{2n}$ và $u_{2n+1}$.

Nhưng em vẫn hơi thắc mắc ở chỗ xét hai dãy phụ. Anh có thể giải thích cho em được không? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 22-05-2016 - 22:26

[JUV]

Đầu tiên chứng minh bằng quy nạp rằng ${u_n}$ là dãy giảm từ $u_3$ và bị chặn dưới bởi 4. Từ đó theo định lí Weierstrass thì ${u_n}$ tồn tại giới hạn. Đặt $\lim u_n =L$ thì ta có $L=\lim u_n =\lim \sqrt{u_{n - 1}} + \sqrt{u_{n-2}} =2\lim \sqrt{u_n}=2\sqrt{L}$$\Rightarrow L=4$

Vậy $\lim u_n=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 23-05-2016 - 22:32