Cho dãy $\{u_{n}\}$ xác định bởi $$\begin{cases} u_{0} = u_{1} = 1 \\ u_{n + 2} = \sqrt{u_{n + 1}} + \sqrt{u_{n}}\end{cases}$$ Chứng minh rằng dãy $\{u_{n}\}$ hội tụ và tìm giới hạn đó.
Chứng minh rằng dãy $\{u_{n}\}$ hội tụ và tìm giới hạn đó
#1
Đã gửi 22-05-2016 - 16:35
#2
Đã gửi 22-05-2016 - 18:37
Cho dãy $\{u_{n}\}$ xác định bởi $$\begin{cases} u_{0} = u_{1} = 1 \\ u_{n + 2} = \sqrt{u_{n + 1}} + \sqrt{u_{n}}\end{cases}$$ Chứng minh rằng dãy $\{u_{n}\}$ hội tụ và tìm giới hạn đó.
Ta xét hai dãy phụ:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 22-05-2016 - 18:40
#3
Đã gửi 22-05-2016 - 19:15
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $$b_n \leq \text{min} \left \{ u_{2n}, \; u_{2n+1} \right \} \leq \text{max} \left \{ u_{2n}, \; u_{2n+1} \right \} \leq a_n$$
Anh có thắc mắc là tại sao em lại nghĩ đến điều này?
#4
Đã gửi 22-05-2016 - 22:26
Anh có thắc mắc là tại sao em lại nghĩ đến điều này?
À thực ra bài này ở trong đề Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình lớp 11 năm 2013-2014 (vòng 2) nhưng đề Tỉnh không cho giá trị cụ thể của $u_1, u_2$.
Chỗ đó em nghĩ ghi là $u_{2n}$ và$u_{2n+1}$ cũng được.
Theo em thì từ công thức xác định dãy thì ta sẽ phải lợi dụng liên hệ giữa ba số liên tiếp trong dãy. Vì thế sẽ chia dãy $\left \{ u_n \right \}$ ra hai dãy
và lẻ tức $\left \{ u_{2n} \right \}$ và $\left \{ u_{2n+1} \right \}$.
Mặt khác, lợi dụng tính đơn điệu của hai dãy có cùng giới hạn hữu hạn: $\left \{ a_n \right \}$ và $\left \{ b_n \right \}$ ta sẽ kẹp hai số $u_{2n}$ và $u_{2n+1}$.
Nhưng em vẫn hơi thắc mắc ở chỗ xét hai dãy phụ. Anh có thể giải thích cho em được không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 22-05-2016 - 22:26
#5
Đã gửi 23-05-2016 - 22:26
Đầu tiên chứng minh bằng quy nạp rằng ${u_n}$ là dãy giảm từ $u_3$ và bị chặn dưới bởi 4. Từ đó theo định lí Weierstrass thì ${u_n}$ tồn tại giới hạn. Đặt $\lim u_n =L$ thì ta có $L=\lim u_n =\lim \sqrt{u_{n - 1}} + \sqrt{u_{n-2}} =2\lim \sqrt{u_n}=2\sqrt{L}$$\Rightarrow L=4$
Vậy $\lim u_n=4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 23-05-2016 - 22:32
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh