Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $\sum x=3$. CM: $\sum \sqrt{x}\geq \sum xy$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 23-05-2016 - 01:32
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $\sum x=3$. CM: $\sum \sqrt{x}\geq \sum xy$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 23-05-2016 - 01:32
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $\sum x=3$. CM: $\sum \sqrt{x}\geq \sum xy$
Vì $x+y+z=3$ nên ta có $xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}=\frac{9-x^2-y^2-z^2}{2}$
Nên ta quy bài toán về chứng minh:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geq \frac{9-x^2-y^2-z^2}{2}$
$\leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z} \geq 9$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x} \geq 3\sqrt[3]{x^2.\sqrt{x}.\sqrt{x}}=3x$
Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có
$x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z} \geq 3(x+y+z)=9$
Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh