Chủ đề này có 1 trả lời

[githenhi512]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $\sum x=3$. CM: $\sum \sqrt{x}\geq \sum xy$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 23-05-2016 - 01:32

[royal1534]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $\sum x=3$. CM: $\sum \sqrt{x}\geq \sum xy$

Vì $x+y+z=3$ nên ta có $xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}=\frac{9-x^2-y^2-z^2}{2}$

Nên ta quy bài toán về chứng minh:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geq \frac{9-x^2-y^2-z^2}{2}$

$\leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z} \geq 9$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x} \geq 3\sqrt[3]{x^2.\sqrt{x}.\sqrt{x}}=3x$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có

$x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z} \geq 3(x+y+z)=9$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$