Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Marathon số học Olympic


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 192 trả lời

#181 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-04-2017 - 20:25

Bài 72: Cho $p$ là số nguyên tố và 2 số nguyên dương $n>s+1.$ Chứng minh:

$p^d \mid \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} k^s$ với $p\mid n$ và $d=\bigg\lfloor \frac{n-s-1}{p-1} \bigg\rfloor .$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:40


#182 buivanphuc

buivanphuc

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 27-05-2017 - 07:36

Bài 73: Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}=34& \\ a_{n+1}=4a_{n}^{3}-104a_{n}^{2}-107a_{n}& \end{matrix}\right.$

Với mọi số $n$ nguyên dương, tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn $p\equiv 3(mod4)$ và $a_{2018}+1\vdots p.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:43


#183 Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:White House
  • Sở thích:Làm nước Mỹ vĩ đại trở lại

Đã gửi 09-08-2017 - 16:38

Lời giải bài 72.

Bài này là của Gabriel Dospinesscu, có thể tham khảo cuốn Straight from the book, lời giải khá hay.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:41


#184 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-08-2017 - 00:17

Bài này là của Gabriel Dospinesscu, có thể tham khảo cuốn Straight from the book, lời giải khá hay.

Lời giải dùng vành đóng của vành Z(i) :)



#185 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 27-10-2017 - 01:01

Bài này là của Gabriel Dospinesscu, có thể tham khảo cuốn Straight from the book, lời giải khá hay.

có thể dùng nội suy lagrange



#186 nguyenhuonggiang

nguyenhuonggiang

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Ngọc tảo
  • Sở thích:Kiến trúc và khoa học vũ trụ, toán

Đã gửi 17-12-2017 - 09:55

Bài 74: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ là một ước nguyên của $1995.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuonggiang: 17-12-2017 - 10:10


#187 BaDong2211

BaDong2211

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TLS_17-20
  • Sở thích:Tổ hợp, số học,phương trình hàm

Đã gửi 22-04-2018 - 22:21

Bài 74:Ta có bổ đề : nếu p là ước nguyên tố lẻ của x2+y2 thì p có dạng 4k+1

Chứng minh: x2 đồng dư với -y2 ( mod p) 

suy ra -1 là số chính phương mod p

vậy nên p có dạng 4k+1

từ đó nên ta chỉ được giá trị biểu thức đề cho là 1,-1,5,-5

thay các giá trị trên vào biểu thức ta tìm được (x,y)=(2,1),(1,2)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaDong2211: 22-04-2018 - 22:29


#188 mduc123

mduc123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:yêu thiên nhiên, cây cỏ

Đã gửi 22-04-2018 - 22:25

Bài 74:Ta có bổ đề : nếu p là ước nguyên tố của x2+y2 thì p có dạng 4k+1

Chứng minh: x2 đồng dư với -y2 ( mod p) 

suy ra -1 là số chính phương mod p

vậy nên p có dạng 4k+1

từ đó nên ta chỉ được giá trị biểu thức đề cho là 1,-1,3,-3

thiếu rồi bạn,mình chỉ ra 1 ví dụ là (x,y)=(14,7) có (14,7)=7=4.1+3 là nghiệm thỏa mãn đề bài

P/s:ta sẽ dùng bổ đề trên nhưng phải phân trường hợp ra, vả lại mình chưa công nhận cách chứng minh bổ đề trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 22-04-2018 - 22:31


#189 BaDong2211

BaDong2211

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TLS_17-20
  • Sở thích:Tổ hợp, số học,phương trình hàm

Đã gửi 22-04-2018 - 22:43

thiếu rồi bạn,mình chỉ ra 1 ví dụ là (x,y)=(14,7) có (14,7)=7=4.1+3 là nghiệm thỏa mãn đề bài

P/s:ta sẽ dùng bổ đề trên nhưng phải phân trường hợp ra, vả lại mình chưa công nhận cách chứng minh bổ đề trên

ukm bổ đề này chỉ dùng cho x,y không chia hết cho p thôi

chắc cần phải xét thêm trường hợp x,y chia hết cho p nữa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaDong2211: 22-04-2018 - 22:45


#190 BaDong2211

BaDong2211

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TLS_17-20
  • Sở thích:Tổ hợp, số học,phương trình hàm

Đã gửi 22-04-2018 - 23:24

Bài74: với biểu thức đề ra có giá trị là1,-1, 5, -5 thì chỉ có nghiệm (x,y)=(1,2),(2,1)

với biểu thức đề ra có giá trị khác thì x,y phải chia hết cho ít nhất 1 trong các số 3,7,19

ta gọi d theo nghĩa là ước chung lớn nhất của x,y mà d chỉ có ước nguyên tố là 3,7,19

khi đó ta đặt x=d.a, y=d.b, a,b không chia hết cho 3,7,19. thay vào biểu thức đề ra ta lại được d.$\frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}$ là ước của 1995

vậy nên $\frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}$ chỉ có giá trị là 1,-1,5,-5 nên lại được x=d,y=2d hoặc ngược lại


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaDong2211: 22-04-2018 - 23:31


#191 mduc123

mduc123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:yêu thiên nhiên, cây cỏ

Đã gửi 23-04-2018 - 11:39

ừ,với d=3,7,19 ;x=ad,y=bd



#192 BaDong2211

BaDong2211

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TLS_17-20
  • Sở thích:Tổ hợp, số học,phương trình hàm

Đã gửi 23-04-2018 - 20:03

ừ,với d=3,7,19 ;x=ad,y=bd

a và b ở đây chỉ nhận giá trị là 1,2 thôi còn d là tích của 3,7,19 như 3.7 ,7.19,.... vẫn được bạn nhé nhưng số mũ tối đa của chúng là 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaDong2211: 23-04-2018 - 20:03


#193 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn Công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 14-10-2020 - 17:56

Bài toán 1. (Kazakhstan NMO 2010) Cho trước số tự nhiên $n$ sao cho tồn tại số tự nhiên $a$ thỏa mãn $a^{n - 1} \equiv 1\pmod{n}$ và với mọi ước nguyên tố $p$ của $n - 1$ thì $a^{\frac{n - 1}{p}} \not\equiv 1\pmod{n}$. Chứng minh rằng $n$ là số nguyên tố.

em xin góp một cách khác: chứng minh bổ đề với t là số nhỏ nhất thỏa $n\mid a^{t}-1$ thì với các số m ( m>t) thỏa $n\mid a^{m}-1$ thì $t\mid m$

giả sử m không chia hết cho t thì đặt m=ft+r ( r<t ) $\Rightarrow a^{m}-1=a^{ft+r}-1=a^{ft+r}-a^{r}+a^{r}-1=a^{r}(a^{ft}-1)+(a^{r}-1) \Rightarrow n\mid a^{r}(a^{ft}-1)+(a^{r}-1)$ mà $n\mid a^{ft}-1\Rightarrow n\mid a^{r}-1$ mà t là số nhỏ nhất thỏa điều kiện trên nên  $t\mid m$

Quay trở lại bài toán thì gọi t là số nhỏ nhất thỏa $n\mid a^{t}-1\Rightarrow t=\frac{n-1}{p_{1}p_{2}...p_{x}}\Rightarrow n\mid a^{\frac{n-1}{p}}-1$ ( trái với giả thiết) nên n-1 là số nhỏ nhất thỏa $n\mid a^{n-1}-1$. Theo định lý euler thì $n\mid a^{\varphi(n)}-1$ mà $n-1$ lại là số nhỏ nhất thỏa ĐK trên nên $n-1=\varphi (n)\Rightarrow n$ là số nguyên tố

P/S: không biết em làm có đúng không do cái bổ đề đầu bài thường mọi người làm hay kèm theo ĐK là n là nguyên tố nhưng lần này em lấy luôn trường hợp n là hợp số luôn 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 16-10-2020 - 16:37





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh