Đến nội dung

Hình ảnh

Marathon số học Olympic

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 191 trả lời

#181
lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Bài 72: Cho $p$ là số nguyên tố và 2 số nguyên dương $n>s+1.$ Chứng minh:

$p^d \mid \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} k^s$ với $p\mid n$ và $d=\bigg\lfloor \frac{n-s-1}{p-1} \bigg\rfloor .$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:40


#182
buivanphuc

buivanphuc

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Bài 73: Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}=34& \\ a_{n+1}=4a_{n}^{3}-104a_{n}^{2}-107a_{n}& \end{matrix}\right.$

Với mọi số $n$ nguyên dương, tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn $p\equiv 3(mod4)$ và $a_{2018}+1\vdots p.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:43


#183
Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết

Lời giải bài 72.

Bài này là của Gabriel Dospinesscu, có thể tham khảo cuốn Straight from the book, lời giải khá hay.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:41


#184
lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Bài này là của Gabriel Dospinesscu, có thể tham khảo cuốn Straight from the book, lời giải khá hay.

Lời giải dùng vành đóng của vành Z(i) :)



#185
manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Bài này là của Gabriel Dospinesscu, có thể tham khảo cuốn Straight from the book, lời giải khá hay.

có thể dùng nội suy lagrange



#186
nguyenhuonggiang

nguyenhuonggiang

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Bài 74: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ là một ước nguyên của $1995.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuonggiang: 17-12-2017 - 10:10


#187
BaDong2211

BaDong2211

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Bài 74:Ta có bổ đề : nếu p là ước nguyên tố lẻ của x2+y2 thì p có dạng 4k+1

Chứng minh: x2 đồng dư với -y2 ( mod p) 

suy ra -1 là số chính phương mod p

vậy nên p có dạng 4k+1

từ đó nên ta chỉ được giá trị biểu thức đề cho là 1,-1,5,-5

thay các giá trị trên vào biểu thức ta tìm được (x,y)=(2,1),(1,2)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaDong2211: 22-04-2018 - 22:29


#188
mduc123

mduc123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

Bài 74:Ta có bổ đề : nếu p là ước nguyên tố của x2+y2 thì p có dạng 4k+1

Chứng minh: x2 đồng dư với -y2 ( mod p) 

suy ra -1 là số chính phương mod p

vậy nên p có dạng 4k+1

từ đó nên ta chỉ được giá trị biểu thức đề cho là 1,-1,3,-3

thiếu rồi bạn,mình chỉ ra 1 ví dụ là (x,y)=(14,7) có (14,7)=7=4.1+3 là nghiệm thỏa mãn đề bài

P/s:ta sẽ dùng bổ đề trên nhưng phải phân trường hợp ra, vả lại mình chưa công nhận cách chứng minh bổ đề trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 22-04-2018 - 22:31


#189
BaDong2211

BaDong2211

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

thiếu rồi bạn,mình chỉ ra 1 ví dụ là (x,y)=(14,7) có (14,7)=7=4.1+3 là nghiệm thỏa mãn đề bài

P/s:ta sẽ dùng bổ đề trên nhưng phải phân trường hợp ra, vả lại mình chưa công nhận cách chứng minh bổ đề trên

ukm bổ đề này chỉ dùng cho x,y không chia hết cho p thôi

chắc cần phải xét thêm trường hợp x,y chia hết cho p nữa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaDong2211: 22-04-2018 - 22:45


#190
BaDong2211

BaDong2211

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Bài74: với biểu thức đề ra có giá trị là1,-1, 5, -5 thì chỉ có nghiệm (x,y)=(1,2),(2,1)

với biểu thức đề ra có giá trị khác thì x,y phải chia hết cho ít nhất 1 trong các số 3,7,19

ta gọi d theo nghĩa là ước chung lớn nhất của x,y mà d chỉ có ước nguyên tố là 3,7,19

khi đó ta đặt x=d.a, y=d.b, a,b không chia hết cho 3,7,19. thay vào biểu thức đề ra ta lại được d.$\frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}$ là ước của 1995

vậy nên $\frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}$ chỉ có giá trị là 1,-1,5,-5 nên lại được x=d,y=2d hoặc ngược lại


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaDong2211: 22-04-2018 - 23:31


#191
mduc123

mduc123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

ừ,với d=3,7,19 ;x=ad,y=bd



#192
BaDong2211

BaDong2211

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

ừ,với d=3,7,19 ;x=ad,y=bd

a và b ở đây chỉ nhận giá trị là 1,2 thôi còn d là tích của 3,7,19 như 3.7 ,7.19,.... vẫn được bạn nhé nhưng số mũ tối đa của chúng là 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaDong2211: 23-04-2018 - 20:03





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh