Chủ đề này có 1 trả lời

[Car]

Với ba số $a,b,c$ phân biệt và $a,b,c$ không thuộc tập $0,1,2,3,4$,hãy giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{1-a}+\frac{y}{1-b}+\frac{z}{1-c}=1 & & \\ \frac{x}{2-a}+\frac{y}{2-b}+\frac{z}{2-c}=\frac{1}{2} & & \\ \frac{x}{3-a}+\frac{y}{3-b}+\frac{z}{3-c}=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Giả sử $x,y,z$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Hãy tính tổng dưới đây:

$T=\frac{x}{4-a}+\frac{y}{4-b}+\frac{z}{4-c}+\frac{abc}{4(4-a)(4-b)(4-c)}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Car: 23-05-2016 - 15:44

[Zz NTL zZ]

Bài này của bạn thuộc Chuyên đề Phân thức hữu tỉ và Xác định quan hệ.Cách làm như sau:

Xét $f(t)=\frac{x}{t-a}+\frac{y}{t-b}+\frac{z}{t-c}-\frac{1}{t}=\frac{p(t)}{t(t-a)(t-b)(t-c)}$ với đa thức $p(t)$ bậc$\leq 3.$

Vì $f(1)=f(2)=f(3)=0$ nên $p(1)=p(2)=p(3)=0$ và như vậy:

$\frac{x}{t-a}+\frac{y}{t-b}+\frac{z}{t-c}-\frac{1}{t}=\frac{u(t-1)(t-2)(t-3)}{t(t-a)(t-b)(t-c)}$

Quy đồng hai vế được

    $xt(t-b)(t-c)+yt(t-c)(t-a)+zt(t-a)(t-b)-(t-a)(t-b)(t-c)=u(t-1)(t-2)(t-3)$

Từ đây suy ra:

$\left\{\begin{matrix} u=-\frac{abc}{6} ( t=0) & & & \\ x=\frac{u(a-1)(a-2)(a-3)}{a(a-b)(a-c)} ( t=a )& & & \\ y=\frac{u(b-1)(b-2)(b-3)}{b(b-c)(b-a)} ( t=b )& & & \\ z=\frac{u(c-1)(c-2)(c-3)}{c(c-a)(c-b)} ( t=c ). & & & \end{matrix}\right.$

Từ $\frac{x}{t-a}+\frac{y}{t-b}+\frac{z}{t-c}-\frac{1}{t}=-\frac{abc}{6}.\frac{(t-1)(t-2)(t-3)}{t(t-a)(t-b)(t-c)}$

$\Rightarrow T=\frac{1}{4}$ khi $t=4$

P/s: Cái này mình thấy họ giải rồi post lên thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz NTL zZ: 29-05-2016 - 20:06