Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+2b^2+3c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=2a^3+3b^3+4c^3$
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+2b^2+3c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=2a^3+3b^3+4c^3$
#1
Đã gửi 23-05-2016 - 17:10
#2
Đã gửi 23-05-2016 - 21:23
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+2b^2+3c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=2a^3+3b^3+4c^3$
Giả định: $a=x, b=y, c=z$
Áp dụng AM-GM ta có:
$2(a^{3}+a^{3}+x^{3})\geq 6xa^{2}$
$3(b^{3}+b^{3}+y^{3})\geq 9yb^{2}$
$4(c^{3}+c^{3}+z^{3})\geq 12zc^{2}$
Cộng 3 bất đẳng thức trên lại vế theo vế ta được:
$2P+2x^{3}+3y^{3}+4z^{3}\geq 6xa^{2}+9yb^{2}+12zc^{2}$
Ta tìm x,y,z thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} &\frac{6x}{1}=\frac{9y}{2}=\frac{12z}{3} \\ &x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x=\frac{6}{\sqrt{407}} & \\ &y=\frac{8}{\sqrt{407}} & \\ &z=\frac{9}{\sqrt{407}} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P\geq \frac{12}{\sqrt{407}}$
Vậy $P_{min}=\frac{12}{\sqrt{407}}\Leftrightarrow a=\frac{6}{\sqrt{407}}, b=\frac{8}{\sqrt{407}}, c=\frac{9}{\sqrt{407}}$
- tpdtthltvp, tritanngo99, PlanBbyFESN và 2 người khác yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Đã gửi 27-05-2019 - 10:45
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt_3
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
CMR:$\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+b+1}\ge 1$Bắt đầu bởi tritanngo99, 25-07-2017 bdt_3 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\sqrt{(a+1)^2+b^2}+2\sqrt{(a-1)^2+b^2}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 27-04-2017 bdt_3 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $(ab-2)^2+1\ge a^3+b^3$Bắt đầu bởi tritanngo99, 06-04-2017 bdt_3 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
CMR: $7(ab+bc+ca)^2\ge 18abc+27(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$Bắt đầu bởi tritanngo99, 13-01-2017 bdt_3 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\sum_{k=0}^nC_{n}^k(k-nx)^2x^k(1-x)^{n-k}\le \frac{n}{4}$.Bắt đầu bởi tritanngo99, 19-10-2016 bdt_3 |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh