Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+2b^2+3c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=2a^3+3b^3+4c^3$

bdt_3

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+2b^2+3c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=2a^3+3b^3+4c^3$



#2
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+2b^2+3c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=2a^3+3b^3+4c^3$

Giả định: $a=x, b=y, c=z$

Áp dụng AM-GM ta có:

$2(a^{3}+a^{3}+x^{3})\geq 6xa^{2}$

$3(b^{3}+b^{3}+y^{3})\geq 9yb^{2}$

$4(c^{3}+c^{3}+z^{3})\geq 12zc^{2}$

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại vế theo vế ta được:

$2P+2x^{3}+3y^{3}+4z^{3}\geq 6xa^{2}+9yb^{2}+12zc^{2}$

Ta tìm x,y,z thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} &\frac{6x}{1}=\frac{9y}{2}=\frac{12z}{3} \\ &x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x=\frac{6}{\sqrt{407}} & \\ &y=\frac{8}{\sqrt{407}} & \\ &z=\frac{9}{\sqrt{407}} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P\geq \frac{12}{\sqrt{407}}$

Vậy $P_{min}=\frac{12}{\sqrt{407}}\Leftrightarrow a=\frac{6}{\sqrt{407}}, b=\frac{8}{\sqrt{407}}, c=\frac{9}{\sqrt{407}}$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#3
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết
Hay





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt_3

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh