Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

VMF's Marathon Hình học Olympic

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 437 trả lời

#381 moonkey01

moonkey01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TP.HCM
  • Sở thích:Hình học, Số học

Đã gửi 25-02-2017 - 19:29

Bài toán 174. Cho $\Delta ABC$ có 1 điểm $D$ bất kì thuộc đường thẳng $BC$ sao cho $D$ và $B$ nằm khác phía so với $C$. Gọi $I$ và $I_1$ l ần lượt là tâm nội tiếp $\Delta ABC$ và $\Delta ACD$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của $(I)$ và $(I')$ đi qua 1 điểm cố định khi $D$ thay đổi.

 

Đây là bài toán IMO Shortlist 2004, có thể xem tại đây: https://artofproblem...c6h41033p257883

 

Bài toán sau trích từ chuỗi bài giảng của thầy Hùng tại trường Đông miền Nam 2015:

 

Bài toán 175. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có trực tâm $H$. $AD,AM$ lần lượt là đối trung và trung tuyến. Gọi $P,Q$ đối xứng $H$ qua $AD,AM$ và $R$ đối xứng $H$ qua $D$. Chứng minh rằng $(PQR)$ tiếp xúc $(O)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-02-2017 - 23:16


#382 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 25-02-2017 - 20:49

Lời giải bài toán 175.

Vị tự tâm $H$ tí số $1/2$ , Gọi $HE,HF$ vuông góc với $AM,AN$ , ta chứng minh $(DEF)$ tiếp xúc với $(Euler)$ của tam giác $ABC$

Trước tiên , $AH$ cắt $BC$ tại $K$ thì$\overline{AH}.\overline{AK}=\overline{AF}.\overline{AD}=\overline{AE}.\overline{AM}$ nên $(DEF)$ đy qua $M$

 Gọi tiếp tuyến tại $A$ cắt $BC$ tại $T$ , theo bài toán quen thuộc thì $E$ thuộc $(A-Apolo)$ Suy ra $TE=TA$ và $ED$ là đối trung của $EBC$ suy ra $ED,EM$ đẳng giác trong  góc $BEC$ nên $\widehat{DEM}=\widehat{BEC}-2\widehat{MEC}=\widehat{B}-\widehat{C}=180^0-\widehat{AOM}$

 Suy ra $\widehat{EDC}=\widehat{AMC}-\widehat{DEM}=90^0-\widehat{MAO}=90^0-\widehat{KAD}=\widehat{ADK}$

Chính vì vậy $ME=MF$ ta có , trung trực của $EF$  vừa đy qua tâm $(Euler)$ của tam giác $ABC$ vừa đy qua tâm $DFE$ và $M$ nên $(DEF)$ tiếp xúc với $(Euler)$ của tam giác $ABC$ tại $M.$

25.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-02-2017 - 23:16

~O) ~O) ~O)

#383 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 25-02-2017 - 21:01

Bài toán 176. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),B,C$ cố định, $A$ di chuyển trên cung lớn $BC,$ phân giác $AD,K$ bất kì cố định trên trung trực $BC,$ đường thẳng qua $D$ vuông góc $BC$ cắt $AK$ tại $T.$ Chứng minh $(T,TD)$ luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định khi $A$ thay đổi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-02-2017 - 23:18

~O) ~O) ~O)

#384 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 26-02-2017 - 11:44

Lời giải bài 176 : Gọi $M$ là chân đường phân giác ngoài góc $\angle A$, , $N$ là trung điểm $MD$, $NS$ là tiếp tuyến tới đường tròn $(T)$, $SD$ cắt trung trực $BC$ tại $X$, $R$ là trung điểm $BC$, $Z$ là trung điểm $SD$, $D'$ đối xứng $D$ qua $T$ suy ra $M,S,D'$ thẳng hàng.Gọi $L,L'$ là điểm chính giữa cung nhỏ , cung lớn $BC$. $K'$ đối xứng $L$ qua $K$ 

Ta có : $\frac{RX}{RD} = \frac{NZ}{ZD} = \frac{MD}{DD'}$ $= \frac{MD}{\frac{AD}{AL}.KL} = \frac{MD.AL}{AD.KL}= \frac{2R.AL}{AL'.K'L}$ $= \frac{2R}{K'L}.\frac{AL}{AL'} \implies RX =RD. \frac{2R}{K'L}.\frac{AL}{AL'} = RL .\frac{2R}{K'L}$ không đổi nên $X$ cố định

Thật vậy , ta có $DS.DX = DR.DM = DB.DC$ nên tứ giác $SBXC$ nội tiếp

Lại có $NS^2 = ND^2 = NM^2 = NB.NC$ nên $NS$ cũng là tiếp tuyến tới đường tròn $(SBXC)$. Mà điểm $X$ cố định nên đường tròn $(SBXC)$ cố định nên $(T)$ tiếp xúc với đường tròn cố định là $(BXC)$

 

Hình gửi kèm

  • 600693_126327790906289_1017420421_n.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 26-02-2017 - 13:44


#385 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 26-02-2017 - 11:51

Bài toán 177 :  Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$, $AB$ cắt $CD$ tại $P$, $AD$ cắt $BC$ tại $Q$. Chứng minh rằng khoảng cách giữa trực tâm hai tam giác $APD$ và $AQB$ bằng khoảng cách giữa trực tâm hai tam giác $CQD$ và $BPC$



#386 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 26-02-2017 - 13:52

Lời giải bài toán 177.

Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ , $D,E$ nằm trên $AB,AC$ , $K,H$ là trực tâm tam giác $ABC,ADE$ , $M,N,P,Q,F$ là trung điểm $BC,CE,DE,BC,DC.$ Khi đó tam giác $AHK$ đồng dạng tam giác $FNM.$

29.png

Chứng minh. Gọi $J,I$ là tâm ngoại $ABC,ADE$ , ta có $\frac{AH}{AK}=\frac{IP}{JQ}=\frac{DE}{BC}=\frac{FN}{FM}$

Và dễ dàng chứng minh :$\widehat{HAK}=\widehat{NFM}$ suy ra $AHK$ đồng dạng tam giác $FNM$

Từ đây còn suy ra $\frac{HK}{MN}=\frac{HA}{FN}=\frac{2PI}{PE}=2tan\widehat{DEI}=2cot\widehat{DAE}$

Trở lại bải toán :

28.png

Gọi $H,G,I,J$ là trực tâm tam giác $BAQ,PAD,PBC,CDQ$ , ta sẽ chứng minh $GJ=HI$

Thật vậy , gọi $M,N$ là trung điểm $AC,PQ$ , khi đó theo Bổ đề $\frac{GJ}{MN}=2 cot\widehat{ADP}$

 Mặt khác , ta cũng có $\frac{HI}{MN}=2cot\widehat{ABC}$ từ đó suy ra$GJ=HI$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-02-2017 - 23:19

~O) ~O) ~O)

#387 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 26-02-2017 - 14:01

Bài toán 178. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có trực tâm $H,$ phân giác $AD.M$ là điểm chính giữa cung $BHC$ của $(BHC).BM,CM$ cắt $AC,AB$ tại $E,F.EF,AM$ cắt nhau tại $P.K$ là tâm $(AEF).$ Chứng minh :$P$ là trực tâm tam giác $KBC$ và $KA=OD.$ 

27.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-02-2017 - 23:21

~O) ~O) ~O)

#388 Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 184 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK - ĐHQG TP.HCM
  • Sở thích:Geometry, Inequality, Light Novel, W&W

Đã gửi 26-02-2017 - 21:01

Lời giải bài toán 178. Áp dụng định lý $Brocard$ cho tứ giác $AEMF$ nội tiếp $(K)$ ta có $P$ là trực tâm của $\triangle KBC.$ 

Gọi $(K),AD$ lần lượt cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $T,I\Rightarrow\overline{T,O,M,I}.$ 

Ta có: $\angle AKM= \angle AOM=2\angle ATI=180^{\circ}-2\angle AIT=180^{\circ}-\angle ADM\Rightarrow 5$ điểm $A,K,O,M,D$ đồng viên. Mà $OK\parallel AD\perp AT$ nên $KA=OD.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-02-2017 - 23:21


#389 moonkey01

moonkey01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TP.HCM
  • Sở thích:Hình học, Số học

Đã gửi 28-02-2017 - 20:16

Anh Hiếu nhờ em đề xuất tiếp bài toán sau đây:

 

Bài toán 179: Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BE,CF$. $M$ là hình chiếu của $A$ trên $EF$. $N,P$ là trung điểm $BE,CF$. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC,MNP$ đồng dạng.



#390 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 28-02-2017 - 21:42

Lời giải bài toán 179.

Bổ đề 1. Cho $\Delta ABC, \Delta A'B'C'$ đồng dạng cùng hướng. Khi đó $(AB,A'B') \equiv (BC,B'C') \equiv (CA,C'A').$

Bổ đề này cơ bản, xin phép không trình bày chứng minh ở đây.

Bổ đề 2. Cho $\Delta ABC, \Delta A_2B_2C_2$ đồng dạng cùng hướng. Gọi $A_1$ là trung điểm $AA_2,$ tương tự có $B_1,C_1.$ Khi đó $\Delta A_1B_1C_1 \sim \Delta A_2B_2C_2.$

Chứng minh

Quay lại bài toán.

Gọi $A'$ đối xứng $A$ qua $EF.$ Khi đó $\Delta A'EF= \Delta AEF \sim \Delta ABC.$ Áp dụng Bổ đề 2. cho các tam giác $A'EF,MNP,ABC$ ta suy ra $\Delta MNP \sim \Delta ABC,$ đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-12-2017 - 14:34

Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.


#391 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 28-02-2017 - 21:53

Bài toán 180. Cho ngũ giác $ABCDE$ lồi, điểm $F$ trên cạnh $AE$ thỏa mãn $\Delta ABC \sim \Delta CDE \sim \Delta BFD.$ Chứng minh $\frac{AF}{FE}=\frac{BF^2}{FD^2}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-02-2017 - 21:54

Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.


#392 LePhuoc87

LePhuoc87

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 28-02-2017 - 21:54

Lời giải bài 179.
Gọi $K$ là trực tâm $\Delta AEF \Rightarrow K \in AO.$
Gọi $M$ là giao điểm của $AO$ và $EF.$ Do $\Delta AEF \sim \Delta ABC$ nên $\frac{AK}{AM}=\frac{AH}{AD} \Rightarrow HK \parallel MD.$
$EHFK$ là hình bình hành $\Rightarrow EF,HK$ có chung trung điểm $I.$
Dễ thấy $H$ là trực tâm $\Delta INP \Rightarrow IH \perp NP \Rightarrow MD \perp NP.$
Do $\frac{ME}{MF}= \frac{DB}{DC}$ nên suy ra $NP$ đi qua trung điểm $J$ của $MD,$ theo bổ đề ERIQ.
$\Rightarrow NP$ là trung trực $MD \Rightarrow \Delta MNP= \Delta DNP.$
Gọi $L$ là trung điểm BC $\Rightarrow H,N,P,D,L$ cùng thuộc đường tròn đường kính $HL.$
Suy ra $\widehat{DNP}=\widehat{DHP}=\widehat{ABC},\widehat{DPN}=\widehat{DHB}=\widehat{ACB} \Rightarrow \Delta DNP \sim \Delta ABC,$ đpcm. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-02-2017 - 22:37


#393 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 01-03-2017 - 09:30

Bài toán 181. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O;R)$ ,ngoại tiếp $(I;r).$ Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $O$ đến các cạnh của tam giác.

Chứng minh rằng $x+y+z= R+r.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 01-03-2017 - 13:19


#394 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 01-03-2017 - 12:18

Bài toán 180. Cho ngũ giác $ABCDE$ lồi, điểm $F$ trên cạnh $AE$ thỏa mãn $\Delta ABC \sim \Delta CDE \sim \Delta BFD.$ Chứng minh $\frac{AF}{FE}=\frac{BF^2}{FD^2}.$

Lời giải bài toán 180. Gọi $DF$ cắt $AC$ tại $G,BF$ cắt $CD$ tại $H,$ có $BCDG,BCDH$ nội tiếp nên $G,B,C,D,H$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Theo định lý Pascal thì $BA$ cắt $DE$ tại $I$ thuộc $(GBCDH).$

Do đó $\frac{AF}{FE}=\frac{AB.\sin \widehat{ABF}}{HE.\sin\widehat{FHE}}=\frac{AB.HI}{HE.BC}=\frac{BF^2}{DF^2},$ đpcm.

 

30.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 01-03-2017 - 12:26

~O) ~O) ~O)

#395 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 01-03-2017 - 13:21

Lời giải bài toán 181.

Bổ đề. Cho tam giác $ABC.$ Ta luôn có $\cos A+ \cos B+ \cos C=1+ \frac{r}{R}.$

Chứng minh. Xem tại đây.

Quay lại bài toán.

Ta có $x=OB \cos A=R \cos A \Rightarrow x+y+z=R( \cos A+ \cos B+ \cos C)=R(1+ \frac{r}{R})=R+r,$ theo bổ đề. Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 01-03-2017 - 13:21

Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.


#396 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 01-03-2017 - 13:24

Bài toán 182. Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I).P$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $BC.$

$M,N$ là hai điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho tam giác $MNP$ nhận $(I)$ làm đường tròn bàng tiếp góc $P$ và $(MNP)$ cắt lại $(O)$ ở $X.$

Chứng minh $AX$ đi qua tâm vị tự của $(O),(I).$


Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.


#397 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 01-03-2017 - 14:13

Bài toán 183. Đường tròn $(S)$ tiếp xúc với các cạnh $AB$ và $AC$ của tam giác $ABC$ nhọn tại $L,K$ và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm M.

Chứng minh $MK$ đi qua điểm chính giữa cung $AC$ nhỏ của $(O).$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 01-03-2017 - 18:48


#398 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 01-03-2017 - 18:00

Bài toán 182. Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I).P$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $BC.$

$M,N$ là hai điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho tam giác $MNP$ nhận $(I)$ làm đường tròn bàng tiếp góc $P$ và $(MNP)$ cắt lại $(O)$ ở $X.$

Chứng minh $AX$ đi qua tâm vị tự của $(O),(I).$

Lời giải bài 182 : Đầu tiên ta đi chứng minh $X$ là tiếp điểm của $A-Mix$ với $(O)$

Thật vậy : Gọi $PM,PN$ cắt $(O)$ tại $F,E$ , $EF$ cắt $BC$ tại $Q$ Khi đó $Q$ là điểm $Miquel$ của tứ giác toàn phần $EFMN.PQ$

Ngịch đảo  tâm $X$ phương tích $XM.XE$ hợp đối xứng phân giác góc $MXE$ do $EFMN$ ngoại tiếp nên $XI$ là phân giác góc $QXP$ , (  https://nguyenvanlin...ao-doi-xung.pdf )

có$\widehat{QXB}=\widehat{XBC}-\widehat{XQC}=\widehat{XBC}-\widehat{XFP}=\widehat{PXC}$ nên $XI$ cũng là phân giác góc $CXB$ nên $X$ là tiếp điểm của $A-Mix$ với $(O)$

Xét các tâm vị tự ngoài của $(O),(I),(A-Mix)$ thì theo định lý $Monge$ thì $AX$ đi qua tâm vị tự của $(O),(I).$

23.png


~O) ~O) ~O)

#399 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 01-03-2017 - 18:21

Bài toán 184. Cho tam giác $ABC$ , $M$ nằm trên đoạn $BC$ , $K,L$ là tâm ngoại tiếp $(ABM),(ACM).D,E,F,X,Y,Z,T$ lần lượt là trung điểm $MA,MB,MC,KB,KM,LM,LC.YZ$ cắt $XT$ tại $N.NL,NK$ cắt $BC$ tại $P,Q.$ Chứng minh $(DPF)$ tiếp xúc $(DEQ).$

32.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 01-03-2017 - 18:46

~O) ~O) ~O)

#400 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 01-03-2017 - 18:51

Lời giải bài toán 183.

Bạn xem tại đây.


Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh