Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

VMF's Marathon Hình học Olympic

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 435 trả lời

#421 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 22-05-2017 - 20:06

Bài toán 194. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Một đường tròn bất kì qua $B,C$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$. $EF$ cắt $BC$ tại $S$. $I$ là trung điểm $AS$. $K$ là hình chiếu của $S$ lên phân giác trong góc $BAC$. Chứng minh rằng đường thẳng qua trực tâm tam giác $ABC$ vuông góc $IK$ đi qua trực tâm tam giác $AEF$.

Bổ đề. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp được đường tròn. Gọi $E,F$ lần lượt là các giao điểm của $AD$ và $BC$, $AB$ và $CD$. Gọi $I$ là giao điểm của phân giác hai góc $BFC,DEC$. $G,H$ lần lượt là trung điểm của $BD,AC$. Chứng minh rằng $G,H,I$ thẳng hàng.

Chứng minh. Xem tại đây

Quay trở lại bài toán.

Khuong Nguyen Geometry.png

Gọi $T$ là trực tâm của tam giác $AEF$.

Từ Bổ đề ta có được: $IK$ là $\text{Gauss}$

Theo tính chất đường thẳng $\text{Gauss}$ vuông góc với đường thẳng $\text{Steiner}$: $IK \perp HT$



#422 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 22-05-2017 - 20:20

Bài toán 195. Tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, $K$ là một điểm khác $H$ nằm trong tam giác. $H_1,H_2,H_3$ lần lượt là trực tâm tam giác $AHK, BHK, CHK$. $X,Y,Z$ là theo thứ tự là trung điểm $AH_1; BH_2; CH_3$. Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 22-05-2017 - 20:48


#423 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 22-05-2017 - 20:34

Lời giải bài toán 195. Xem tại đây.

Hiện tại mình không có bài mới, mọi người đề nghị bài mới giúp mình.


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.

#424 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 22-05-2017 - 20:39

Bài toán 194 mình có hai cách không sử dụng đường thẳng Gauss đợi vài ngày nữa mình sẽ đăng giải.

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#425 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 22-05-2017 - 21:54

Bài toán 196. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$ có tiếp điểm với $BC$ là $D$ , đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$.  Đường tròn nội tiếp tam giác $AEF$ cắt $EF,FA,AE$ tại $P,R,Q$ . Lấy $K$ sao cho $IK \perp IA$ và $DK=DI$ . $HK$ cắt $AI,RQ$ tại $J,L$ . Lấy $G$ đối xứng với $J$ qua $PL$ . $QR$ cắt $EF$ và đường thẳng qua $J$ song song với $EF$ tại $S,T$. $X,Y$ là trung điểm của $AS,JT$.Chứng minh rằng $LG \perp XY$ 

eeeeeeeeeeee.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 22-05-2017 - 23:08

~O)  ~O)  ~O)


#426 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 23-05-2017 - 11:33

Bài toán 177 :  Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$, $AB$ cắt $CD$ tại $P$, $AD$ cắt $BC$ tại $Q$. Chứng minh rằng khoảng cách giữa trực tâm hai tam giác $APD$ và $AQB$ bằng khoảng cách giữa trực tâm hai tam giác $CQD$ và $BPC$

Một lời giải khác của bạn dangkhuong cho bài toán 177:

Gọi $X,Y,Z,T$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $APD,QDC,QAB,PBC.$

Vì $X,Y,Z,T$ thẳng hàng nên đpcm $\Leftrightarrow ZT=XY.$

Gọi $PX$ cắt $QY$ ở $F,K$ là hình chiếu của $Q$ lên $DC,O$ và $O'$ là tâm $(QDC)$ và $ABCD).$

$QK,QO$ đẳng giác $\Rightarrow QO \perp AB.$ Gọi $QO$ cắt $AB$ ở $J.$

$\Delta QAB \sim \Delta QCD \Rightarrow \Delta QZB \sim \Delta QYD \Rightarrow \frac{QZ}{QY}=\frac{QB}{QD}=\frac{QJ}{QK} \Rightarrow KJ \parallel YZ.$

$\widehat{XPD}=\widehat{DAX}=\widehat{SQA}=\widehat{ZQB} \Rightarrow \Delta FPK \sim \Delta BQJ \Rightarrow \frac{KF}{JB}=\frac{PK}{QJ}.$

Tứ giác $QJKP$ nội tiếp $\Rightarrow \Delta QJS \sim \Delta PKS \Rightarrow \frac{SJ}{SK}=\frac{QJ}{PK}=\frac{KF}{JB} \Rightarrow JK \parallel FB \Rightarrow FB \parallel YT.$

$\Rightarrow YTBF$ là hình bình hành $\Rightarrow YF=TB.$

Lại có $\Delta YXF \sim \Delta TZB \Rightarrow ZT=XY.$

Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 04-06-2017 - 22:44

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.

#427 DucLuong91

DucLuong91

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K45 THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
  • Sở thích:Hình học phẳng,bất đẳng thức

Đã gửi 02-06-2017 - 11:36

Bài toán 197. Cho hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp $(O),(K)$ tiếp xúc ngoài $(O)$ ở $T.P,Q \in (K)$ sao cho $QP \parallel AD$ và $PQ=AD.AP$ giao $DQ$ tại $N,BP$ giao $CQ$ tại $H.$ Chứng minh $T \in (ONH).$

 

Screenshot (7).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-01-2018 - 15:51


#428 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-07-2017 - 20:36

Bài 198. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),H$ là trực tâm của tam giác. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn cắt $CH$ tại $P,$ kẻ phân giác $AD,PD$ cắt $AB$ tại $K.$ Chứng minh rằng $HK$ vuông góc với $AD.$

8.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-12-2017 - 14:38


#429 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 11-08-2017 - 02:16

Hướng chứng minh cho Bài toán 196:

Chứng minh $J$ là tâm nội tiếp và $LP$ vuông góc với $QR$ => $LG$ đi qua trực tâm $AEF$ và $AQR$ nên $LG$ vuông góc với đường thẳng Gauss.

@halloffame: Lời giải này chưa hoàn thiện, đầy đủ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-01-2018 - 16:31

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#430 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 11-08-2017 - 02:18

Bài toán 199. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$. $OH$ cắt $(O)$ tại $E, F$. $AH$ cắt $BC$ tại $D$. dựng các hình thang cân $ACBB'$ và $ABCC'$ với $BB' || AC, CC'|| AB$. $BC$ cắt $B'C'$ tại $X$. Chứng minh $E, F, X, D$ đồng viên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-12-2017 - 14:38

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#431 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 18-09-2017 - 22:50

Bài 198:

Gọi $AD,CH$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $X,Y$.

Áp dụng định lý $Pascal$ cho bộ $\binom{X A C}{B Y A}$ ta có $X,Y, K$ thẳng hàng.

Tiếp tuyến tại $X$ của $(O)$ song song $BC$

$=>$ Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{B Y X}{X A C}$ ta có $KL // BC$ với $L$ là giao $CH$ với $AD$.

Do đó $HK \perp AD.$

Bài toán 200. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn $\omega $ tiếp xúc trong $(O)$ và tiếp xúc $AB,AC$ tại $E,F$. $EF$ cắt $BC$ tại $X$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $AD$ cắt $\omega $ tại $T$ sao cho $T$ nằm giữa $A,D$, $AX$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $S$. $(AST)$ cắt $AC,AB$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $BCPQ$ là tứ giác lưỡng tâm.  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-12-2017 - 14:56

HSGS in my heart  :icon12:


#432 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 30-12-2017 - 14:52

Nhân dịp sắp kết thúc năm 2017 và tiến tới VMO 2018, đồng thời Marathon HH đạt mốc 200 bài, mình thay mặt BQT và các ĐHV gửi lời cảm ơn tới các thành viên của diễn đàn đã và đang theo dõi, giải bài trong Marathon HH. Sau đây là danh sách các bài toán trong Marathon chưa có lời giải.

$$\begin{array}{| l | l |} \hline Bài & Người đăng\\ \hline 162 & quanghung86\\ \hline 196 & ecchi123\\ \hline 197 & DucLuong91\\ \hline 199 & dogsteven\\ \hline 200 & SonKHTN1619\\ \hline \end{array}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-12-2017 - 14:57

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.

#433 NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:miền nam
  • Sở thích:tìm link

Đã gửi 01-01-2018 - 18:07

Bài 200: Qua phép nghịch đảo cực $A$ phương tích $AI^2$ ta biến đường tròn $A-Mixtilinear$ thành đường tròn nội tiếp vậy $D$ thành 1 điềm thuộc $A-Mixtilinear$ đồng nghĩa chính là điểm $T$ và $S$ thành $X$.. Vậy $(AST)$ thành $BC$, nên $B,C,P,Q$ thuộc 1 đường tròn nhưng mình thầy 2 đường chéo không vuông nên có thể là đây không phải tứ giác lưỡng tiếp

Mình không biết là mình có hiều đúng đề không nữa nhưng mình thấy đây không phải từ giác lưỡng tâm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHN: 01-01-2018 - 18:25


#434 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 02-01-2018 - 16:29

Lời giải bài toán 196. Ta chứng minh bài toán cho đường tròn $(K)$ tiếp xúc trong $(O),$ trường hợp tiếp xúc ngoài chứng minh tương tự. Ta thấy có thể bỏ đi điểm $B$ không cần thiết.

Bài toán 196'. $\Delta ADC$ vuông tại $D$ nội tiếp $(O),$ một đường tròn $(E)$ tiếp xúc trong $(O)$ ở $T.M,N \in (E)$ sao cho $MN \parallel AD$ và $MN=AD.P,R$ là trung điểm $MD,MC.$ Khi đó $P \in (ORT).$

Chứng minh. 

$M'$ đối xứng $M$ qua $T.$ Dựng điểm $I$ sao cho $OEMI$ là hình bình hành.

$OI$ cắt $(O),CD$ ở $K,L.J$ là hình chiếu $I$ lên $CD.$

Từ $OEMI$ là hình bình hành và $EM=ET$ ta suy ra được $IK=IM=JN,LK=LM$

Gọi $Q$ đối xứng $M$ qua $O$ thì $Q \in LM'.$ Ta có $LM'.LQ=LK.NJ=LK.KI=KO^2-OL^2=LC.LD \Rightarrow Q \in (M'CD).$

Qua phép vị tự tâm $M$ tỉ số $\frac{1}{2}$ ta có ngay đpcm.

Screen Shot 2018-01-02 at 1.29.42 AM.png


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.

#435 trihoctoan

trihoctoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Đã gửi 11-01-2018 - 22:48

Bài 201: (Sưu tầm từ Luis Gonzalez) 

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có ba đường cao $AD,BE,CF$  .Gọi $l_1,l_2,l_3$ lần lượt là các đường thẳng qua $D,E,F$ và vuông góc với $OD,OE,OF$ .Gọi $X$ là giao điểm của $l_2,l_3$.Tương tự có $Y,Z $.Chứng minh rằng :$DX,EY,FZ$ đồng quy trên đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.



#436 LXH1162003

LXH1162003

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 27-09-2019 - 21:39

Lời giải Bài toán 199:
Bài toán 199: Cho $\bigtriangleup ABC$, tâm ngoại tiếp $O$, trực tâm $H$, đường cao $AD$. $OH$ cắt $(ABC)$ ở $E,F$. Dựng các hình thang cân $ACBB'$, $ABCC'$, $BB' // CA$, $CC' // AB$. $BC\cap C'B' = X $. Chứng minh rằng $E,F,D,X$ đồng viên.
Chứng minh: (Ta xét trường hợp tam giác $ABC$ không cân. Trường hợp tam giác cân là đơn giản.)
 Gọi $B'C\cap BC'=G$, $H'$ đối xứng $H$ qua $A$. $BB'\cap CC'=A'$, $N$ là tâm Euler tam giác ABC, $O'$ đối xứng $O$ qua $BC$. Ta có $HH'.HD=2HA.HD=HE.HF$ nên $F, D, E, H'$ đồng viên. Áp dụng Pascal cho $(BCB'C'HcHb)$ với $Hb, Hc$ lần lượt là đối xứng của $H$ qua $CA, AB$, ta có $G\in HO$. Mặt khác $\overline{ A;N;O'}$ nên theo phép vị tự tâm $H$ tỉ số 2 suy ra $\overline {H';O;A'}$ nên theo định lý Brocard ta có $OH' \perp GX$ ở $I$ và $GX.GI=GE.GF$ nên $X,I,F,E$ đồng viên. Hơn nữa ta cũng có $H',D,I,X$ đồng viên trên đường tròn đường kính $XH'$ nên ta xét 3 đường tròn $(DFH'E), (FEXI), (XIDH')$, nếu chúng là 3 đường tròn đôi 1 phân biệt thì ta có 3 trục đẳng phương giữa 2 trong 3 đường tròn nói trên là $FE, DH', XI$ suy ra chúng phải đồng quy (Vô lý vì tam giác $ABC$ không cân nên $GX$ không thể đi qua $H$). Từ đó suy ra có 2 trong 3 đường tròn nói trên là trùng nhau, nên ta dễ dàng suy ra đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LXH1162003: 02-10-2019 - 20:40






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh