Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

VMF's Marathon Bất Đẳng Thức Olympic

marathon aops vmf

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 162 trả lời

#161 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1011 Bài viết

Đã gửi 03-08-2018 - 11:08

Bài tập : Cho $x, y$ thực dương sao cho $x+y=1$ .Tìm cực trị của $P=(x+\frac{2018}{y})^2+(y+\frac{2018}{x})^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 03-08-2018 - 11:10


#162 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 04-06-2019 - 18:23

cho a,b,c thực dương và a+b+c=1/(abc). tìm GTNN của P=(a+b)(a+c).

Em test thử ạ! Em không chắc đâu.

Từ giả thiết suy ra $a(a+b+c) = \frac{1}{bc}$ . Ta lại có:

$P = a^{2} + ab + bc + ca = a(a+b+c) + bc = \frac{1}{bc} + bc \geq 2$ (theo BĐT $AM-GM$)

Đẳng thưc xảy ra khi $bc = 1 \Leftrightarrow  a+b+\frac{1}{b} = \frac{1}{a}$

Vậy $P_{min} = 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 04-06-2019 - 18:23

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#163 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 30-07-2020 - 12:40

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

$$\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{9}{4}$$

Đặt $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$.

$\Rightarrow P=\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}=\frac{2a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}=\frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{4(b+c)}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{4(c+b)}=\frac{9}{4}$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $x=\frac{\sqrt{15}}{7}; y=z=\sqrt{15}$. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 30-07-2020 - 12:54

$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: marathon, aops, vmf

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh