Bài toán 22. (AoPS) Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh rằng
\[ a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\geq 2a^2|(d-b)(d-c)|.\]
Lời giải bài 22.
- Trường hợp $(d-b)(d-c)\leq 0$,ta viết bất đẳng thức lại là $a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\geq 2a^2(d-b)(c-d)$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $(d-b)(c-d)\leq \dfrac{(b-c)^2}{4}$
Nên ta chỉ cần chứng minh $a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\geq \dfrac{a^2(b-c)^2}{2}$
Tương đương $2(a^4+b^4+c^4+d^4)+2a^2bc\geq a^2b^2+a^2c^2+8abcd$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $a^2bc+a^2bc+d^4+b^2c^2\geq 4abcd$ và $a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4abcd$
Nên ta chỉ cần chứng minh $a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$, hiển nhiên đúng
- Trường hợp $(d-b)(d-c)\geq 0$, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta sẽ có $b^4+c^4\geq \dfrac{(b+c)^4}{8},bc\leq \dfrac{(b+c)^2}{4},(d-b)(d-c)\leq \dfrac{(2d-b-c)^2}{4}$
Đặt $t=\dfrac{b+c}{2}$ thì ta chỉ cần chứng minh $a^4+2t^4+d^4\geq 2a^2(d-t)^2$
Tương đương với $(a^2-d^2)^2+2t(t-a)(t^2+at-2ad)\geq 0$
Hiển nhiên với $t=\max \{a,t,d\}$ hoặc $t=\min \{a,t,d\}$ thì bất đẳng thức trên đúng nên ta chỉ xét khi $t$ nằm giữa $a$ và $d$
Nếu $a\geq t\geq d$, đặt $a=d+x$ và $t=d+y$ thì ta cần chứng minh $(x^2+2dx)^2+2(d+y)(y-x)(3dy+y^2+xy-dx)\geq 0$
Tương đương với $2d^2(3x^2-4xy+3y^2)+4d(x^3-2xy^2+2y^3)+x^4-2x^2y^2+2y^4\geq 0$
Hiển nhiên đúng do $3x^2-4xy+3y^2\geq x^2+y^2\geq 0,x^3-2xy^2+2y^3\geq xy^2\geq 0,x^4-2x^2y^2+2y^4\geq y^4\geq 0$
Nếu $a\leq t\leq d$, đặt $d=a+u,t=a+v$ thì ta cần chứng minh $a^2(4u^2-4uv+6v^2)+4a(u^3-uv^2+2v^3)+u^4+2v^4\geq 0$, đúng
Vậy ta có điều cần chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d$
Bài toán 23. (Sưu tầm) Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$. Chứng minh rằng
\[x^3y+y^3z+z^3x\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{16}\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 01-06-2016 - 13:09