Chủ đề này có 1 trả lời

[King7853]

Bài toán: Với $x,y,x>0$ và $1 + x + y + z = 2xyz$ . Tìm $MinP$ và các giá trị $x,y,z$ để $P$ đạt Min.

 

$P=\sum \frac{xy}{1+x+y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 24-05-2016 - 23:05

[royal1534]

Bài toán: Với x,y,x>0 và 1 + x + y + z = 2xyz . Tìm MinP và các giá trị x,y,z để P đạt Min.

 

$P=\sum \frac{xy}{1+x+y}$

A người quen nè :v

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{xyz}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=2$
Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})=(a,b,c) $
$\rightarrow ab+bc+ca+abc=2 (a,b,c>0)$
$\leftrightarrow (a+1)+(b+1)+(c+1)=(a+1)(b+1)(c+1)$
Tiếp tục đặt ${(a+1),(b+1),(c+1)}=(A,B,C) $
$\Rightarrow A+B+C=ABC(A,B,C>1)$
Sử dụng bất đẳng thức NesBit ta có:
$P=\sum \frac{xy}{1+x+y}=\frac{1}{a+b+ab}=\sum \frac{1}{(a+1)(b+1)-1}=\sum\frac{1}{AB-1}=\sum \frac{1}{\frac{A+B+C}{C}-1}=\sum \frac{C}{A+B} \geq \frac{3}{2}$
Vậy $MinP=\frac{3}{2}$. Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c \Leftrightarrow x=y=z$