Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng:$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$
Tương đương $\sum \frac{a^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+3}\leq \frac{1}{2}$.
Có $\sum \frac{a^2}{3a^2+3}= \sum \frac{a^2}{3a^2+ab+bc+ca}$
$= \sum \frac{a^2}{(2a^2+bc)+(a^2+ab+ac)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{a}{a+b+c})$
$=\frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc})+\frac{1}{4}$.
Mặt khác $\sum \frac{bc}{2a^2+bc}= \sum \frac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}=1$
$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1\Rightarrow \frac{1}{4}\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{2}$
Vậy ta có đpcm.
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
Tương đương $\sum \frac{a^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+3}\leq \frac{1}{2}$.
Có $\sum \frac{a^2}{3a^2+3}= \sum \frac{a^2}{3a^2+ab+bc+ca}$
$= \sum \frac{a^2}{(2a^2+bc)+(a^2+ab+ac)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{a}{a+b+c})$
$=\frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc})+\frac{1}{4}$.
Mặt khác $\sum \frac{bc}{2a^2+bc}= \sum \frac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}=1$
$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1\Rightarrow \frac{1}{4}\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{2}$
Vậy ta có đpcm.
Cái này là 1 chứ có phải a^2 đâu???
Cái này là 1 chứ có phải a^2 đâu???
Để ý dấu nhé bạn, mình đã đổi dấu rồi mà.
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
Tương đương $\sum \frac{a^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+3}\leq \frac{1}{2}$..
Bạn giải thích được không?
NHỚ LIKE NHÁ!!!!!!
Bạn giải thích được không?
Bạn giải thích rõ hơn bước đó được ko, mih ko hiểu, hj
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng:$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$
$ Không\quad mất\quad tình\quad tổng\quad quát\quad giả\quad sử\quad a\ge b\ge c->ab\ge 1\quad và\quad a+b+c\ge 3;abc\le 1\\ Ta\quad có\quad bổ\quad đề\quad :\quad \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+1 } +\frac { 1 }{ { y }^{ 2 }+1 } \ge \frac { 2 }{ xy+1 } (nếu\quad xy\ge 1)\\ Áp\quad dụng\quad ta\quad có\quad :\quad \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }+1 } +\frac { 1 }{ { b }^{ 2 }+1 } \ge \frac { 2 }{ ab+1 } (vì\quad ab\ge 1).\quad Nên\quad ta\quad cần\quad c/m\\ \frac { 2 }{ ab+1 } +\frac { 1 }{ { c }^{ 2 }+1 } \ge \frac { 3 }{ 2 } <=>{ c }^{ 2 }+3-ab\ge 3ab{ c }^{ 2 }\quad hay\quad ta\quad cần\quad c/m\quad :{ c }^{ 2 }+3-ab\ge 3c\\ <=>c(c+a+b-3)\ge 0(đúng)$
Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một
Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó
Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc
Tương đương $\sum \frac{a^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+3}\leq \frac{1}{2}$.
Có $\sum \frac{a^2}{3a^2+3}= \sum \frac{a^2}{3a^2+ab+bc+ca}$
$= \sum \frac{a^2}{(2a^2+bc)+(a^2+ab+ac)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{a}{a+b+c})$
$=\frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc})+\frac{1}{4}$.
Mặt khác $\sum \frac{bc}{2a^2+bc}= \sum \frac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}=1$
$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1\Rightarrow \frac{1}{4}\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{2}$
Vậy ta có đpcm.
ko hieeur choox nayf
Bạn giải thích được không?
Bất đẳng thức tương đương $3-\sum \frac{1}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{a^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}$
ko hieeur choox nayf
Đây là mình áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, có $\sum \frac{bc}{bc+2a^2}\geq 1\Leftrightarrow 3-\sum \frac{bc}{2a^2+bc}\leq 2\Leftrightarrow 2\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1$.
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
từ cái chố <=3/2 thì bạn ấy chia 3 xuống thì còn <=1/2
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh