Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{b+ac}}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nganha2001

nganha2001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

Bài 1: Cho a,b,c > 0 và ab+bc+ac > 0

Chứng minh: $\sqrt{\frac{1+a^{2}}{b+c}}+\sqrt{\frac{1+b^{2}}{a+c}}+\sqrt{\frac{1+c^{2}}{a+b}}\geq 3$

Bài 2: cho a+b+c = 3

chứng minh  $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{b+ac}}\geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 25-05-2016 - 21:17

                                                                                             


#2
Nhok Tung

Nhok Tung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Bài 2: cho a+b+c = 3

chứng minh  $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{b+ac}}\geq 3$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\prod \frac{a+b}{c+ab}}$

Cần chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)\geq (c+ab)(b+ac)(a+bc)$

Ta có :

$(c+ab)(a+bc)(b+ca)\leq \frac{1}{8}(a+b)(b+c)(c+a)(1+a)(1+b)(1+c) \leq \frac{1}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\frac{1}{27}(1+1+1+a+b+c)^{3}=(a+b)(b+c)(c+a)$

-> đpcm


                        $\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$

                                          


#3
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Bài 2: cho a+b+c = 3

chứng minh  $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{b+ac}}\geq 3$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(b+ca)(a+bc)}}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$\frac{\prod (a+b)}{\prod (c+ab)}\geq 1$

Lại áp dụng AM-GM ta có:

$(c+ab)(b+ca)\leq \frac{(c+ab+b+ca)^{2}}{4}=\frac{\left [ (b+c)(a+1) \right ]^{2}}{4}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi nhân lại ta có:

$(c+ab)(b+ca)(a+bc)\leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)}{8}\leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a).\frac{(a+b+c+3)^{3}}{27}}{8}=(a+b)(b+c)(c+a)$

$\Rightarrow đpcm$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#4
Nhok Tung

Nhok Tung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Bài 1: Cho a,b,c > 0 và ab+bc+ac > 0

Chứng minh: $\sqrt{\frac{1+a^{2}}{b+c}}+\sqrt{\frac{1+b^{2}}{a+c}}+\sqrt{\frac{1+c^{2}}{a+b}}\geq 3$

$\sum \sqrt{\frac{1+a^{2}}{b+c}}\geq 3\sqrt[6]{\prod \frac{1+a^{2}}{b+c}}$

cần chứng minh $\prod (1+a^{2})\geq \prod (a+b)$

Ta có : $(1+a^{2})(1+b^{2})\geq (a+b)^{2}$

thiết lập tương tự rồi nhân vế theo vế các bđt, ta có đpcm

Ở đây a,b,c >0 thì ab+bc+ca >0 rồi  :D  :D  :D


                        $\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$

                                          





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh