Chủ đề này có 1 trả lời

[ggiang]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN $\dfrac{a^2+1}{a}+\dfrac{b^2+1}{b}+\dfrac{c^2+1}{c}-\dfrac{1}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 26-05-2016 - 07:29

[Sonhai224]

ta có biểu thức tương đương với $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}$ 

vì $\frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{a+b+c}$ nên $P\geq a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})= a+b+c+\frac{8}{9a}+\frac{9}{9b}+\frac{8}{9c}$

dùng uct ta cm được $a+\frac{8}{9a}\geq \frac{17}{9}+\frac{1}{18}(a^{2}-1)$ thật vậy biến đổi ta có $\frac{(a-1)^{2}(16-a)}{18a}\geq 0$ đúng vì theo điều kiện thì $a< \sqrt{3}$ 

tương tự với b và c ta có $P\geq \frac{17}{3}$ dấu bằng khi a=b=c=1