Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh
* * * * * 12 Bình chọn

Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 300 trả lời

#1 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1008 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 27-05-2016 - 22:08

Lời đầu tiên xin gửi lời chào đến tất cả các thành viên VMF. Mình thành lập topic về phương trình và hệ phương trình này là để các VMF-er có thể thảo luận về một dạng toán khó trong các đề thi Olympic các nước. Với sự quản lí của bạn Issac Newton of Ngoc Tao-ĐHV THPT và một số ĐHV khác nữa, rất mong các bạn tuân thủ các nội quy ở đây(vì bạn Ego đã nêu rất chi tiết nên mình không gõ lại nữa). Nếu ai không tuân thủ thì sẽ bị phạt không nương tay.

 

Bài toán 32(Bài toán hiện tại): Chứng minh rằng phương trình sau có 7 nghiệm thực: $g(x)=x^{9}-9x^{7}+3x^{6}+27x^{5}-18x^{4}-27x^{3}+27x^{2}-1=0$

 

Để mở đầu topic ta đến với bài tập sau:

Bài toán 1Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &30\dfrac{y}{x^{2}}+4y=2016 & \\ &30\dfrac{z}{y^{2}}+4z=2016 & \\ &30\dfrac{x}{z^{2}}+4x=2016 & \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 01-06-2016 - 20:25

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#2 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 607 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT chuyên Phan Bội Châu

Đã gửi 27-05-2016 - 22:31

 

Bài toán 1. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &30\dfrac{y}{x^{2}}+4y=2016 & \\ &30\dfrac{z}{y^{2}}+4z=2016 & \\ &30\dfrac{x}{z^{2}}+4x=2016 & \end{matrix}\right.$

 

Bài toán 1:

 

$30\dfrac{y}{x^{2}}+4y=2016\Leftrightarrow y(\frac{30}{x^{2}}+4)=2016\Rightarrow y> 0$

 

Tương tự: $x>0$; $z>0$

 

Giả sử: $x>y>0$ (1) $\Rightarrow x(\frac{30}{z^{2}}+4)=y(\frac{30}{x^{2}}+4)\Rightarrow \frac{30}{z^{2}}+4< \frac{30}{x^{2}}+4\Rightarrow z> x$  (2)

 

            $x(\frac{30}{z^{2}}+4)=z(\frac{30}{y^{2}}+4)\Rightarrow \frac{30}{z^{2}}+4> \frac{30}{y^{2}}+4\Rightarrow y> z$ (Mâu thuẫn (1) và (2))

 

$\Rightarrow x=y=z$

 

$\Rightarrow \frac{30}{x}+4x=2016\Rightarrow 2x^{2}-1008x+15=0$

 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{504+\sqrt{253986}}{2} & \\ x=\frac{504-\sqrt{253986}}{2} & \end{bmatrix}$ (Nhận 2TH)

 

Vậy: $\left (x,y,z \right )\in \left \{ \left ( \frac{504+\sqrt{253986}}{2};\frac{504+\sqrt{253986}}{2};\frac{504+\sqrt{253986}}{2} \right );\left ( \frac{504-\sqrt{253986}}{2};\frac{504-\sqrt{253986}}{2};\frac{504-\sqrt{253986}}{2} \right ) \right \}$ 

 

Bài toán 2: Giải hệ phương trình:

 

 

$\left\{\begin{matrix} &6x^{4}-(x^{3}-x)y^{2}-(y+12)x^{2}=-6 \\ &5x^{4}-(x^{2}-1)^{2}y^{2}-11x^{2}=-5 \end{matrix}\right.$

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton of Ngoc Tao: 28-05-2016 - 07:33

:huh:


#3 Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 730 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Một chân trời mới mở ra với tôi...
  • Sở thích:I AM A PERFECT PERSON

Đã gửi 28-05-2016 - 07:49

Bài toán 2: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &6x^{4}-(x^{3}-x)y^{2}-(y+12)x^{2}=-6 \\ &5x^{4}-(x^{2}-1)^{2}y^{2}-11x^{2}=-5 \end{matrix}\right.$

(đây là bài của bạn PlanByFESN)

(Ghi chú lần sau khi đề xuất bài toán nào các bạn hãy đưa vào một bài đăng khác để tiện theo dõi)


Tôi không biết chiến tranh thế giới thứ 3 xảy ra khi nào nhưng chiến tranh thế giới thứ 4 người ta sẽ dùng gậy và đá để ném nhau_A.Einstein :icon6: :icon6: :lol:

#4 Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 730 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Một chân trời mới mở ra với tôi...
  • Sở thích:I AM A PERFECT PERSON

Đã gửi 28-05-2016 - 08:05

Bài toán 2: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &6x^{4}-(x^{3}-x)y^{2}-(y+12)x^{2}=-6 \\ &5x^{4}-(x^{2}-1)^{2}y^{2}-11x^{2}=-5 \end{matrix}\right.$

Xét x=0 không là nghiệm của hệ phương trình:

Nên Ta có: $HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6(x-\frac{1}{x})^{2}-(x-\frac{1}{x})y^{2}-y=0 & & \\ 5(x-\frac{1}{x})^{2}-(x-\frac{1}{x})^{2}y^{2}-1=0 & & \end{matrix}\right.;x-\frac{1}{x}=a,y=b\Rightarrow HPT:\left\{\begin{matrix} 6a^{2}-ay^{2}-y=0 & & \\ 5a^{2}-a^{2}y^{2}-1=0 & & \end{matrix}\right.$(*)

Xét y=0 không là nghiệm của hệ phương trình nên có:

$PT(*):\left\{\begin{matrix} 6\frac{a^{2}}{y^{2}}-a-\frac{1}{y}=0 & & \\ 5\frac{a^{2}}{y^{2}}-a^{2}-\frac{1}{y^{2}}=0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6\frac{a^{2}}{y^{2}}=a+\frac{1}{y}=0 & & \\ 5\frac{a^{2}}{y^{2}}=(a+\frac{1}{y})^{2}-2\frac{a}{y} & & \end{matrix}\right.;t=\frac{a}{y}\Rightarrow PT: 36t^{4}-5t^{2}-2t=0\Leftrightarrow t(36t^{3}-5t-2)=0$

Đến đây thì dễ rùi nha.


Tôi không biết chiến tranh thế giới thứ 3 xảy ra khi nào nhưng chiến tranh thế giới thứ 4 người ta sẽ dùng gậy và đá để ném nhau_A.Einstein :icon6: :icon6: :lol:

#5 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1008 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 28-05-2016 - 08:06

Bài toán 2: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &6x^{4}-(x^{3}-x)y^{2}-(y+12)x^{2}=-6 \\ &5x^{4}-(x^{2}-1)^{2}y^{2}-11x^{2}=-5 \end{matrix}\right.$

+) Xét $x=0$, hệ phương trình vô nghiệm

+) Xét $x\neq 0$, chia 2 vế của từng phương trình trong hệ cho $x^{2}$ ta được:

$\left\{\begin{matrix} &6x^{2}-(x-\frac{1}{x})y^{2}-y-12=\frac{-6}{x^{2}} \\ &5x^{2}-(x-\frac{1}{x})^{2}y^{2}-11=\frac{-5}{x^{2}} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &6(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-(x-\frac{1}{x})y^{2}-y-12=0 \\ &5(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-(x-\frac{1}{x})^{2}y^{2}-11=0 \end{matrix}\right.$

Đặt $t=x-\frac{1}{x}\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$

Khi đó hệ phương trình trở thành:

$\left\{\begin{matrix} &6(t^{2}+2)-ty^{2}-y-12=0 \\ &5t^{2}-t^{2}y^{2}-11=0 \end{matrix}\right.$

+) Xét $t=0$, hệ phương trình vô nghiệm

+) Xét $t\neq 0$, chia 2 vế của từng phương trình trong hệ cho $t^{2}$ ta được:

$\left\{\begin{matrix} &6-\dfrac{y^{2}}{t}-\dfrac{y}{t^{2}}=0 \\ &5-y^{2}-\dfrac{1}{t^{2}}=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &\dfrac{y}{t}\left ( y+\dfrac{1}{t} \right )=6 \\ &\left ( y+\dfrac{1}{t} \right )^{2}-2.\dfrac{y}{t}=5 \end{matrix}\right.$

Đặt $a=y+\dfrac{1}{t}, b=\frac{y}{t}$

Ta có hệ mới: $\left\{\begin{matrix} &ab=6 \\ &a^{2}-2b=5 \end{matrix}\right.$

Ta dễ dàng tìm ra được $a=3, b=2$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &y+\dfrac{1}{t}=3 \\ &\dfrac{y}{t}=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &t=1 \\ &y=2 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} &t=\dfrac{1}{2} \\ &y=1 \end{matrix}\right.$

+) Với $t=1\Rightarrow x-\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

+) Với $t=\frac{1}{2}\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}-x-2=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}$

Vậy $(x,y)=\left ( \frac{1\pm \sqrt{5}}{2};2 \right ),\left ( \frac{1\pm \sqrt{17}}{4};1 \right )$

 

P/s: Cho phép mình không tính điểm bài này.

$\begin{array}{| l | l |} \hline \text{PlanBbyFESN} & 1\\ \hline \text{Issac Newton of Ngoc Tao} & 1\\ \hline \end{array}$

 

Bài toán 3: $8x^{3}-36x^{2}+53x-25=\sqrt[3]{3x-5}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 28-05-2016 - 13:30

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#6 Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 730 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Một chân trời mới mở ra với tôi...
  • Sở thích:I AM A PERFECT PERSON

Đã gửi 28-05-2016 - 08:13

 

Bài toán 3: $8x^{3}-36x^{2}+53x-25=\sqrt[3]{3x-5}$

Ta có: $PT\Leftrightarrow (2x-3)^{3}+2x-3=3x-5+\sqrt[3]{3x-5}\Leftrightarrow 2x-3=\sqrt[3]{3x-5}\Leftrightarrow 8x^{3}-36x^{2}+51x-22=0\Leftrightarrow x=2;x=\frac{5-\sqrt{3}}{4};x=\frac{5+\sqrt{3}}{4}$

 

 

 

Bài toán 4: Giải phương trình sau:$\sqrt{3x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}-x\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^{2}-x+4)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton of Ngoc Tao: 28-05-2016 - 08:17

Tôi không biết chiến tranh thế giới thứ 3 xảy ra khi nào nhưng chiến tranh thế giới thứ 4 người ta sẽ dùng gậy và đá để ném nhau_A.Einstein :icon6: :icon6: :lol:

#7 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 28-05-2016 - 10:06

 

Bài toán 4: Giải phương trình sau:$\sqrt{3x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}-x\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^{2}-x+4)$

PT$\Leftrightarrow 2(7x^2-x+4)-4\sqrt{2(3x^2-1)}-4\sqrt{2(x^2-x)}+4x\sqrt{2(x^2+1)}=0$ 
    $\Leftrightarrow (\sqrt{2(3x^2-1)}-2)^2+(\sqrt{2(x^2-x)}-2)^2+(\sqrt{2(x^2+1)}+2x)^2=0$
    $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} 3x^2-1=2 & & \\ x^2-x=2& & \\ x^2+1=2x^2 (x\leq 0)& & \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=-1.$ (thỏa mãn $x\leq 0)$


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#8 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 28-05-2016 - 10:11

Bài toán 5: Giải phương trình: $x^2+5x=x\sqrt{3x-1}+(x+1)\sqrt{5x}$


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#9 tuanyeubeo2000

tuanyeubeo2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS-THPT NGHI SƠN -Thanh Hóa
  • Sở thích:BĐT + OXY + HPT + BPT

Đã gửi 28-05-2016 - 10:47

Bài toán 5: Giải phương trình: $x^2+5x=x\sqrt{3x-1}+(x+1)\sqrt{5x}$

$ { x }^{ 2 }+5x=x\sqrt { 3x-1 } +(x+1)\sqrt { 5x } (\quad đk:x\ge \frac { 1 }{ 3 } )\\ pt<=>({ x }^{ 2 }-x\sqrt { 3x-1 } )+\left[ 5x-(x+1)\sqrt { 5x }  \right] =0\\ <=>x\left[ \frac { { x }^{ 2 }-3x+1 }{ x+\sqrt { 3x-1 }  }  \right] +\sqrt { 5x } \left[ \frac { 5x-{ x }^{ 2 }-2x-1 }{ \sqrt { 5x } +x+1 }  \right] =0\\ <=>\sqrt { x } ({ x }^{ 2 }-3x+1)\left[ \frac { \sqrt { x }  }{ x+\sqrt { 3x-1 }  } -\frac { \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 5x } +x+1 }  \right] =0\\ +)\quad x=0\quad (loại)\\ +){ x }^{ 2 }-3x+1=0<=>\left[ \begin{matrix} x=\frac { 3+\sqrt { 5 }  }{ 2 } (thõa\quad mãn) \\ x=\frac { 3-\sqrt { 5 }  }{ 2 } (loại) \end{matrix} \right \quad \\ +)\frac { \sqrt { x }  }{ x+\sqrt { 3x-1 }  } -\frac { \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 5x } +x+1 } =0<=>(x+1)\sqrt { x } =\sqrt { 5(3x-1) } <=>{ x }^{ 3 }+{ 2x }^{ 2 }-14x+5=0\\ <=>(x+5)({ x }^{ 2 }-3x+1)=0<=>\left[ \begin{matrix} x=-5(loại) \\ x=\frac { 3+\sqrt { 5 }  }{ 2 } (thõa\quad mãn) \\ x=\frac { 3-\sqrt { 5 }  }{ 2 } (loại) \end{matrix} \right \quad \\ Kết\quad luận\quad phương\quad trình\quad có\quad nghiệm\quad x=\frac { 3+\sqrt { 5 }  }{ 2 } $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 28-05-2016 - 16:34

Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một 

Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó 

Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc


#10 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 607 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT chuyên Phan Bội Châu

Đã gửi 28-05-2016 - 10:51

Bài toán 5: Giải phương trình: $x^2+5x=x\sqrt{3x-1}+(x+1)\sqrt{5x}$

 

Bài toán 5:

 

ĐK: $x\geq \frac{1}{3}$

 

$x^2+5x=x\sqrt{3x-1}+(x+1)\sqrt{5x}\Leftrightarrow x(x-\sqrt{3x-1})+\sqrt{5x}(\sqrt{5x}-x-1)=0$

 

$\Leftrightarrow (x^{2}-3x+1)\left [ \frac{x}{x+\sqrt{3x-1}}-\frac{\sqrt{5x}}{\sqrt{5x}+x+1} \right ]=0$

 

$\Leftrightarrow (x^{2}-3x+1)\left [ \frac{x^{2}+x-\sqrt{5x(3x-1)}}{(x+\sqrt{3x-1})(\sqrt{5x}+x+1)} \right ]=0$

 

$\Leftrightarrow (x^{2}-3x+1)\left [ \frac{x^{4}+2x^{3}-14x^{2}+5x}{(x+\sqrt{3x+1})(\sqrt{5x}+x+1)(x^{2}+x+\sqrt{5x(3x-1)})} \right ]=0$

 

$\Leftrightarrow x(x^{2}-3x+1)^{2}(x+5)\left [ \frac{1}{(x+\sqrt{3x+1})(\sqrt{5x}+x+1)(x^{2}+x+\sqrt{5x(3x-1)})} \right ]=0$

 

$\Leftrightarrow x^{2}-3x+1=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} & \\ x=\frac{3+\sqrt{5}}{2} & \end{bmatrix}$ (Nhận)


:huh:


#11 nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 210 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên lê quý đôn khánh hòa
  • Sở thích:onl facebook, nghe nhạc , giải toán

Đã gửi 28-05-2016 - 10:59

Bài toán 5: Giải phương trình: $x^2+5x=x\sqrt{3x-1}+(x+1)\sqrt{5x}$

nhân 2 vế với 2 ta có $2x^2+10x-2x\sqrt{3x-1}-2(x+1)\sqrt{5x}=0$

$(x+1-\sqrt{5x})^2+(x-\sqrt{3x-1})^2=0$

từ đây giải ra 2 nghiệm $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$   và $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 CUỘC SỐNG LÀ MỘT CHUỖI KHÔNG NGỪNG CHUYỂN ĐỘNG,ĐIỀU QUAN TRỌNG LÀ BẠN CÓ CHỊU ĐỨNG DẬY VÀ CHUYỂN ĐỘNG CÙNG NÓ HAY KHÔNG! :lol:  :D  :like 


#12 nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 210 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên lê quý đôn khánh hòa
  • Sở thích:onl facebook, nghe nhạc , giải toán

Đã gửi 28-05-2016 - 11:02

Bài số 6: $x^2-4x-3= \sqrt{x+5}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton of Ngoc Tao: 28-05-2016 - 20:32

  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 CUỘC SỐNG LÀ MỘT CHUỖI KHÔNG NGỪNG CHUYỂN ĐỘNG,ĐIỀU QUAN TRỌNG LÀ BẠN CÓ CHỊU ĐỨNG DẬY VÀ CHUYỂN ĐỘNG CÙNG NÓ HAY KHÔNG! :lol:  :D  :like 


#13 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 28-05-2016 - 11:13

em xin đóng góp bài số 6 $x^2-4x-3= \sqrt{x+5}$

PT$\Leftrightarrow (\sqrt{x+5}-2)(\sqrt{x+5}+3)(x-2-\sqrt{x+5})=0$


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#14 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1008 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 28-05-2016 - 13:15

Bài toán 4: Giải phương trình sau:$\sqrt{3x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}-x\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^{2}-x+4)$

Một cách khác cho bài toán 4.

ĐK: $x\geq 1$ hoặc $x\leq \frac{-1}{3}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sqrt{3x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}-x\sqrt{x^{2}+1}\leq \sqrt{(1+1+x^{2})(3x^{2}-1+x^{2}-x+x^{2}+1)}=\sqrt{(x^{2}+2)(5x^{2}-x)}$ (1)

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^{2}-x+4)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ 5x^{2}-x+2(x^{2}+2) \right ]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{(5x^{2}-x).2(x^{2}+2)}=\sqrt{(5x^{2}-x)(x^{2}+2)}$ (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow VT\leq VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=-1$(thoả mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1$

Bài toán 5: Giải phương trình: $x^2+5x=x\sqrt{3x-1}+(x+1)\sqrt{5x}$

ĐK: $x\geq \frac{1}{3}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$x\sqrt{3x-1}\leq \frac{x^{2}+3x-1}{2}$

$(x+1)\sqrt{5x}\leq \frac{x^{2}+7x+1}{2}$

Cộng 2 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:

$x\sqrt{3x-1}+(x+1)\sqrt{5x}\leq x^{2}+5x$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x=\sqrt{3x-1} \\ &x+1=\sqrt{5x} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$(thoả mãn)

Bài toán 6: $x^2-4x-3= \sqrt{x+5}$

Bài toán 6 cũng có một cách khác.

ĐK: $x\geq -5$

Phương trình đã cho tương đương với:

$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=x+5+\sqrt{x+5}+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\left ( \sqrt{x+5}+\frac{1}{2} \right )^{2}$

TH1: $x-2=\sqrt{x+5}$(ĐK: $x\geq 2$)

$\Rightarrow x^{2}-5x-1=0\Rightarrow x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$

TH2: $1-x=\sqrt{x+5}$(ĐK: $-5\leq x\leq 1$)

$\Rightarrow x^{2}-3x-4=0 \Rightarrow x=-1$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$ và $x=-1$

 

P/s: Những bài viết trình bày không rõ ràng hoặc làm tắt sẽ chỉ được nửa điểm hoặc không tính điểm tuỳ vào từng bài.

 

\begin{array}{| l | l |} \hline \text{PlanBbyFESN} & 2\\ \hline \text{Issac Newton of Ngoc Tao} & 2\\ \hline \text{tungteng532000} & 1,5\\ \hline \text{nguyenduy287} & 1\\ \hline \text{NTA1907} & 3\\ \hline \end{array}

 

Bài toán 7: $\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15}-\sqrt[3]{x^{3}-5x+1}=2x+2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 28-05-2016 - 13:44

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#15 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{blue}{\text{Bầu trời riêng của tôi}}$

Đã gửi 28-05-2016 - 15:59

Bài toán 7: $\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15}-\sqrt[3]{x^{3}-5x+1}=2x+2$

 

 

$\sqrt[3]{12x^2+46x-15}-\sqrt[3]{x^3-5x+1}=2x+2$

 

$\iff \sqrt[3]{x^3-5x+1}+1+(2x+1)-\sqrt[3]{12x^2+46x-15}=0$

 

$\iff \dfrac{x^3-5x+2}{\sqrt[3]{x^3-5x+1}^2-\sqrt{x^3-5x+1}+1}+\dfrac{8(x^3-5x+2)}{(2x+1)^2-(2x+1)\sqrt[3]{12x^2+46x-15}+\sqrt[3]{12x^2+46x-15}^2}=0$

 

$\iff (x^3-5x+2)[\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^3-5x+1}^2-\sqrt{x^3-5x+1}+1}+\dfrac{8}{(2x+1)^2-(2x+1)\sqrt[3]{12x^2+46x-15}+\sqrt[3]{12x^2+46x-15}^2}]=0$

 

$\iff x^3-5x+2=0$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

 

$\iff x=2$   v    $x=-1-\sqrt{2}$     v     $x=-1+\sqrt{2}$

 

Bài toán 8: $x^4(x-3)\sqrt{x+2}-6x^2-5x-1=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 28-05-2016 - 16:12


#16 tuanyeubeo2000

tuanyeubeo2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS-THPT NGHI SƠN -Thanh Hóa
  • Sở thích:BĐT + OXY + HPT + BPT

Đã gửi 28-05-2016 - 16:02

 

 

Một cách khác cho bài toán 4.

ĐK: $x\geq 1$ hoặc $x\leq \frac{-1}{3}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sqrt{3x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}-x\sqrt{x^{2}+1}\leq \sqrt{(1+1+x^{2})(3x^{2}-1+x^{2}-x+x^{2}+1)}=\sqrt{(x^{2}+2)(5x^{2}-x)}$ (1)

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^{2}-x+4)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ 5x^{2}-x+2(x^{2}+2) \right ]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{(5x^{2}-x).2(x^{2}+2)}=\sqrt{(5x^{2}-x)(x^{2}+2)}$ (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow VT\leq VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=-1$(thoả mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1$

 

ĐK: $x\geq \frac{1}{3}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$x\sqrt{3x-1}\leq \frac{x^{2}+3x-1}{2}$

$(x+1)\sqrt{5x}\leq \frac{x^{2}+7x+1}{2}$

Cộng 2 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:

$x\sqrt{3x-1}+(x+1)\sqrt{5x}\leq x^{2}+5x$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x=\sqrt{3x-1} \\ &x+1=\sqrt{5x} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$(thoả mãn)

Bài toán 6 cũng có một cách khác.

ĐK: $x\geq -5$

Phương trình đã cho tương đương với:

$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=x+5+\sqrt{x+5}+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\left ( \sqrt{x+5}+\frac{1}{2} \right )^{2}$

TH1: $x-2=\sqrt{x+5}$(ĐK: $x\geq 2$)

$\Rightarrow x^{2}-5x-1=0\Rightarrow x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$

TH2: $1-x=\sqrt{x+5}$(ĐK: $-5\leq x\leq 1$)

$\Rightarrow x^{2}-3x-4=0 \Rightarrow x=-1$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$ và $x=-1$

 

P/s: Những bài viết trình bày không rõ ràng hoặc làm tắt sẽ chỉ được nửa điểm hoặc không tính điểm tuỳ vào từng bài.

 

\begin{array}{| l | l |} \hline \text{PlanBbyFESN} & 2\\ \hline \text{Issac Newton of Ngoc Tao} & 2\\ \hline \text{tungteng532000} & 1,5\\ \hline \text{nguyenduy287} & 1\\ \hline \text{NTA1907} & 3\\ \hline \end{array}

 

Bài toán 7: $\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15}-\sqrt[3]{x^{3}-5x+1}=2x+2$

 

admin cho em hỏi sao khi trích từ LATEX qua trả lời em thêm kí tự ( $ ) ở trước và sau bài lại báo lỗi ạ , em qua marathon bđt gõ thì không sao ạ :(


Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một 

Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó 

Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc


#17 nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 210 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên lê quý đôn khánh hòa
  • Sở thích:onl facebook, nghe nhạc , giải toán

Đã gửi 28-05-2016 - 22:18

 

 

Một cách khác cho bài toán 4.

ĐK: $x\geq 1$ hoặc $x\leq \frac{-1}{3}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sqrt{3x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}-x\sqrt{x^{2}+1}\leq \sqrt{(1+1+x^{2})(3x^{2}-1+x^{2}-x+x^{2}+1)}=\sqrt{(x^{2}+2)(5x^{2}-x)}$ (1)

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^{2}-x+4)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ 5x^{2}-x+2(x^{2}+2) \right ]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{(5x^{2}-x).2(x^{2}+2)}=\sqrt{(5x^{2}-x)(x^{2}+2)}$ (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow VT\leq VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=-1$(thoả mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1$

 

ĐK: $x\geq \frac{1}{3}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$x\sqrt{3x-1}\leq \frac{x^{2}+3x-1}{2}$

$(x+1)\sqrt{5x}\leq \frac{x^{2}+7x+1}{2}$

Cộng 2 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:

$x\sqrt{3x-1}+(x+1)\sqrt{5x}\leq x^{2}+5x$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x=\sqrt{3x-1} \\ &x+1=\sqrt{5x} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$(thoả mãn)

Bài toán 6 cũng có một cách khác.

ĐK: $x\geq -5$

Phương trình đã cho tương đương với:

$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=x+5+\sqrt{x+5}+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\left ( \sqrt{x+5}+\frac{1}{2} \right )^{2}$

TH1: $x-2=\sqrt{x+5}$(ĐK: $x\geq 2$)

$\Rightarrow x^{2}-5x-1=0\Rightarrow x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$

TH2: $1-x=\sqrt{x+5}$(ĐK: $-5\leq x\leq 1$)

$\Rightarrow x^{2}-3x-4=0 \Rightarrow x=-1$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$ và $x=-1$

 

P/s: Những bài viết trình bày không rõ ràng hoặc làm tắt sẽ chỉ được nửa điểm hoặc không tính điểm tuỳ vào từng bài.

 

\begin{array}{| l | l |} \hline \text{PlanBbyFESN} & 2\\ \hline \text{Issac Newton of Ngoc Tao} & 2\\ \hline \text{tungteng532000} & 1,5\\ \hline \text{nguyenduy287} & 1\\ \hline \text{NTA1907} & 3\\ \hline \end{array}

 

Bài toán 7: $\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15}-\sqrt[3]{x^{3}-5x+1}=2x+2$

 

 1 lời giải cho bài toán số 7 khác 

đặt $\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15}= a$    và  $\sqrt[3]{x^3-5x+1}=b$

$(2b)^3+a^3=8x^3+12x^2+6x-7=(2x-1)^3-2^3$

và theo giả thiết a-2x-1=b+1

giải hệ ta có $-2(2x+1-a)(4b^2-4b+4)=(2x+1-a)(4x^2+4x+1-2xa+a+a^2)$

do đó 2x+1=a do vế còn lại luôn dương 

từ đó ta có $x^3-5x+2=0$ từ đây giải ra 3 nghiệm x=2 x=-1-$\sqrt{2}$   x=-1+$\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduy287: 28-05-2016 - 22:20

  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 CUỘC SỐNG LÀ MỘT CHUỖI KHÔNG NGỪNG CHUYỂN ĐỘNG,ĐIỀU QUAN TRỌNG LÀ BẠN CÓ CHỊU ĐỨNG DẬY VÀ CHUYỂN ĐỘNG CÙNG NÓ HAY KHÔNG! :lol:  :D  :like 


#18 nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 210 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên lê quý đôn khánh hòa
  • Sở thích:onl facebook, nghe nhạc , giải toán

Đã gửi 29-05-2016 - 10:46

$\sqrt[3]{12x^2+46x-15}-\sqrt[3]{x^3-5x+1}=2x+2$

 

$\iff \sqrt[3]{x^3-5x+1}+1+(2x+1)-\sqrt[3]{12x^2+46x-15}=0$

 

$\iff \dfrac{x^3-5x+2}{\sqrt[3]{x^3-5x+1}^2-\sqrt{x^3-5x+1}+1}+\dfrac{8(x^3-5x+2)}{(2x+1)^2-(2x+1)\sqrt[3]{12x^2+46x-15}+\sqrt[3]{12x^2+46x-15}^2}=0$

 

$\iff (x^3-5x+2)[\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^3-5x+1}^2-\sqrt{x^3-5x+1}+1}+\dfrac{8}{(2x+1)^2-(2x+1)\sqrt[3]{12x^2+46x-15}+\sqrt[3]{12x^2+46x-15}^2}]=0$

 

$\iff x^3-5x+2=0$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

 

$\iff x=2$   v    $x=-1-\sqrt{2}$     v     $x=-1+\sqrt{2}$

 

Bài toán 8: $x^4(x-3)\sqrt{x+2}-6x^2-5x-1=0$

 bài toán 8 khó quá pt viết lại $x^{4}\sqrt{x+2}=\frac{6x^2+5x+1}{x-3}\geq 0$

giải ra ta được 2 miền nghiệm kết hợp với đkxđ $x\geq 3$ hoặc $\frac{-1}{3}\leq x\leq \frac{-1}{2}$

khi đó pt viết lại $(x^2-3x-1)x^3\sqrt{x+2}+x^3\sqrt{x+2}-x^4+x^3-6x^2-5x-1+x^4-x^3=0$

$(x^2-3x-1)(x^3\sqrt{x+2}+\frac{x^3}{\sqrt{x+2}+x-1})+(x^2-3x-1)(x+1)^2=0$

$(x^2-3x-1)(x^3\sqrt{x+2}+\frac{x^3}{\sqrt{x+2}+x-1}+(x+1)^2)=0$

 từ đây giải ra 2 nghiệm x=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ và x=$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$

 và ta sẽ chứng minh phần còn lại của pt luôn lớn hơn 0 với 2 khoảng nghiệm ta chọn 

với $x\geq 3$ thì kết quả là hiển nhiên 

xét với khoảng $\frac{-1}{3}\leq x\leq \frac{-1}{2}$

pt viết lại $x^3(\sqrt{x+2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+x-1})+(x+1)^2=0$

xét $\sqrt{x+2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+x-1}=\frac{x+2+(x-1)\sqrt{x+2}+1}{\sqrt{x+2}+x-1}=\frac{(x-1)\sqrt{x+2}+x^2-2x+1-x^2-x+2}{\sqrt{x+2}+x-1}$

$=x-1-\frac{(x-1)(x+2)}{\sqrt{x+2}+x-1}=(x-1)(1-\frac{x+2}{\sqrt{x+2}+x-1})=(x-1)\frac{\sqrt{x+2}-3}{\sqrt{x+2}+x-1}$

$= (x-1)(1-\frac{x+2}{\sqrt{x+2}+x-1})$

 mặt khác $\sqrt{x+2}+x-1\geq x-1$ nên VT$\geq (x-1)x^3(1-\frac{x+2}{x-1})+(x+1)^2=-3x^3+(x+1)^2> 0$

 do VT ta đang xét trong khoảng nghiệm $\frac{-1}{3}\leq x\leq \frac{-1}{2}$ và hiển nhiên x=1 không là nghiệm

từ đó ta có phần còn lại của pt vô nghiệm 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduy287: 29-05-2016 - 10:49

  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 CUỘC SỐNG LÀ MỘT CHUỖI KHÔNG NGỪNG CHUYỂN ĐỘNG,ĐIỀU QUAN TRỌNG LÀ BẠN CÓ CHỊU ĐỨNG DẬY VÀ CHUYỂN ĐỘNG CÙNG NÓ HAY KHÔNG! :lol:  :D  :like 


#19 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1008 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 29-05-2016 - 11:11

 bài toán 8 khó quá pt viết lại $x^{4}\sqrt{x+2}=\frac{6x^2+5x+1}{x-3}\geq 0$

giải ra ta được 2 miền nghiệm kết hợp với đkxđ $x\geq 3$ hoặc $\frac{-1}{3}\leq x\leq \frac{-1}{2}$

khi đó pt viết lại $(x^2-3x-1)x^3\sqrt{x+2}+x^3\sqrt{x+2}-x^4+x^3-6x^2-5x-1+x^4-x^3=0$

$(x^2-3x-1)(x^3\sqrt{x+2}+\frac{x^3}{\sqrt{x+2}+x-1})+(x^2-3x-1)(x+1)^2=0$

$(x^2-3x-1)(x^3\sqrt{x+2}+\frac{x^3}{\sqrt{x+2}+x-1}+(x+1)^2)=0$

 từ đây giải ra 2 nghiệm x=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ và x=$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$

 và ta sẽ chứng minh phần còn lại của pt luôn lớn hơn 0 với 2 khoảng nghiệm ta chọn 

với $x\geq 3$ thì kết quả là hiển nhiên 

xét với khoảng $\frac{-1}{3}\leq x\leq \frac{-1}{2}$

pt viết lại $x^3(\sqrt{x+2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+x-1})+(x+1)^2=0$

xét $\sqrt{x+2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+x-1}$=$\frac{x+2+(x-1)\sqrt{x+2}+1}{\sqrt{x+2}+x-1}=\frac{(x-1)\sqrt{x+2}+x^2-2x+1-x^2-x+2}{\sqrt{x+2}+x-1}$

$=x-1-\frac{(x-1)(x+2)}{\sqrt{x+2}+x-1}=(x-1)(1-\frac{x+2}{\sqrt{x+2}+x-1})=(x-1)\frac{\sqrt{x+2}-3}{\sqrt{x+2}+x-1}$

$= (x-1)(1-\frac{x+2}{\sqrt{x+2}+x-1})$

 mặt khác $\sqrt{x+2}+x-1\geq x-1$ nên VT$\geq (x-1)x^3(1-\frac{x+2}{x-1})+(x+1)^2=-3x^3+(x+1)^2> 0$

 do VT ta đang xét trong khoảng nghiệm $\frac{-1}{3}\leq x\leq \frac{-1}{2}$ và hiển nhiên x=1 không là nghiệm

từ đó ta có phần còn lại của pt vô nghiệm 

Sao lại có đoạn này hả bạn?


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#20 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1008 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 29-05-2016 - 11:27

 

admin cho em hỏi sao khi trích từ LATEX qua trả lời em thêm kí tự ( $ ) ở trước và sau bài lại báo lỗi ạ , em qua marathon bđt gõ thì không sao ạ  :(

Cái này là do bạn gõ Latex không đúng cách. Và như mình nói ở trên cả 2 bài viết của bạn không được tính điểm vì trình bày không rõ ràng. Lần sau bạn chú ý cẩn thận hơn là được...

 

Bài toán 9: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\left ( \sqrt{x^{2}+1}-3x^{2}y+2 \right )\left ( \sqrt{4y^{2}+1}+1 \right )=8x^{2}y^{3} \\ &x^{2}y-x+2=0 \end{matrix}\right.$

 

\begin{array}{| l | l |} \hline \text{PlanBbyFESN} & 2\\ \hline \text{Issac Newton of Ngoc Tao} & 2\\ \hline \text{tungteng532000} & 1,5\\ \hline \text{nguyenduy287} & 2\\ \hline \text{NTA1907} & 3\\ \hline \text{leminhnghiatt} & 1\\ \hline \end{array}


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 29-05-2016 - 11:34

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh