Chủ đề này có 375 trả lời

[leminhnghiatt]

Bài 82: Giải phương trình:

$\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {2x + 7} - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1} = 2{x^3} + 14{x^2} - 2x + 22$

 

Mk có cách này tuy không hay lắm

 

ĐK: $x \geq 1$

 

$\iff 2x^3+14x^2-2x+22-(3x^2+2x+7)\sqrt{2x+7}+(3x^2-7x+26)\sqrt{x-1}=0$

 

$\iff (x^3+\dfrac{16}{3}x^2-\dfrac{29}{3}x+\dfrac{60}{3})+(3x^2+2x+7)(\dfrac{x}{3}+\dfrac{8}{3}-\sqrt{2x+7})+(3x^2-7x+26)\sqrt{x-1}=0$

 

Với $x=1$ là nghiệm

 

Với $x>1$, ta có:

 

$\iff (x-1)(x^2+\dfrac{19}{3}x-\dfrac{10}{3})+\dfrac{(x-1)^2(3x^2+2x+7)}{3(x+8+\sqrt{2x+7}}+\dfrac{(3x^2-7x+26)(x-1)}{\sqrt{x-1}}=0$

 

$\iff (x-1)[x^2+\dfrac{19}{3}x-\dfrac{10}{3}+\dfrac{(x-1)(3x^2+2x+7)}{3(x+8+\sqrt{2x+7}}+\dfrac{3x^2-7x+26}{\sqrt{x-1}}]=0$

 

$x=1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương với mọi $x>1$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 12-07-2016 - 22:32

[Baoriven]

Lời giải khác cho Bài 82:

Điều kiện: $x\geq 1$.

Ta có:

$\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {2x + 7}  - 3\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right) - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = 2{x^3} + 14{x^2} - 2x + 22 - 3\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)$.

$\Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\left( {\sqrt {2x + 7}  - 3} \right) - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = 2{x^3} + 5{x^2} - 8x + 1$.

$\Leftrightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)}}{{\sqrt {2x + 7}  + 3}} - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 1} \right) \\ \iff x=1$.

Do:

$\dfrac{{2\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {2x + 7}  + 3}} \le \frac{{2\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {x - 1} }}{{3 + 3}} = \left( {{x^2} + \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}} \right)\sqrt {x - 1}  \le \left( {2{x^2} + 7x - 1} \right)\sqrt {x - 1} ,\forall x \ge 1$.

và : $3{x^2} - 7x + 26 > 0,\forall x \ge 1$ 

Do đó phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: $x=1$.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 83: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{11}-y^{22}=y^{12}-xy^{10} \\ 7y^4+13x=2(y^4\sqrt{x(3x^2+3y^2-1)}-4) \end{matrix}\right.$

 

P/S: Mong các VMFers giải chi tiết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 13-07-2016 - 09:23

[An Infinitesimal]

Không chỉ còn 74 mà cả 67. Có lẽ bài 67 khó hơn 74 (74 dễ nhanh có ý tưởng nhưng có lẽ tính toán nhiều!).

 

Các bài đang chờ được giải:

Bài 67: Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} 4\sqrt[3]{y^2}\left ( x^2y^2+8y^2x+12y^2 \right )+2y\sqrt[3]{y}+1=5\sqrt[3]{y^2}.\sqrt{y(xy+3y)^3} & & \\ \left ( x^2y^2+8xy^2+12y^2 \right )^3+4y^4\left ( x^2y^2+8xy^2+12y^2-1 \right )=1 & & \end{matrix}\right.$

 

 

 

Bài 74: Cho phương trình: $x^{3}-2002x^{2}+2001bx-2000a=0$. Tìm GTLN của a sao cho tồn tại b để phương trình trên có 3 nghiệm trên $\left[ -2002;2002 \right]$.

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 14-07-2016 - 06:35

[An Infinitesimal]

 

 

Bài 74: Cho phương trình: $x^{3}-2002x^{2}+2001bx-2000a=0$. Tìm GTLN của a sao cho tồn tại b để phương trình trên có 3 nghiệm trên $\left [ -2002;2002 \right ]$

 

 

Lời giải của bài 74:

 

Ta có 

$\left\{\begin{matrix}x+y=2002-z, \\

xy=z^2-2002z+2001b. \end{matrix}\right.$

 

 

Hệ có nghiệm $ y, z $ trên $[-2002, 2002]$ và $z \in [-2002, 2002]$ khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} z\in [-2002, 2002],\\

z^2 + 2001b\ge 0,\\

- 3z^2 + 4004z - 8004b + 4008004\ge 0.

\end{matrix}\right.$

 

Suy ra

\[b_1(z):=-\frac{z^2}{2001}\le b\le b_2(z):=\frac{- 3z^2 + 4004z + 4008004}{8004}.\]

 

Đặt $A(z,b):=2000a=z^3 - 2002z^2 + 2001bz.$ Vì $A$ là hàm bậc nhất theo $ b $ (với mỗi $ z $ cố định.)

Do đó 

\[A \le \max_{z\in [-2002,2002]}  \max \{A(z,b_1),A(z,b_2)\}= A\left(\frac{2002}{3},b_2\left(\frac{2002}{3}\right)\right).\]

Do đó 

\[a\le \frac{2002^3}{27\times 2001}.\]

Dấu bằng xảy ra trong trường hợp $b=\frac{2002^2}{6003}$ (và phương trình bậc ba có ba nghiệm là $\frac{2002}{3}$, $2002 \left( \frac{20\sqrt{3335}}{2001} + \frac{1}{3}\right)$ và $2002\left( \frac{1}{3} - \frac{20 \sqrt{3335}}{2001}\right)$).

[Baoriven]

Bài 83: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{11}-y^{22}=y^{12}-xy^{10} \\ 7y^4+13x=2(y^4\sqrt{x(3x^2+3y^2-1)}-4) \end{matrix}\right.$

Bài 84: Giải phương trình:

$\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$

[An Infinitesimal]

Bài 84: Giải phương trình:

$\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$

 

Giải bài 84:

Cách 1:

Từ điều kiện $ x\ge \sqrt[3]{2} $, ta có $  x>1 $, và suy ra $x^3>3, x>\sqrt{2}.$

 

Nếu $x\ge 3$ thì $\sqrt[3]{x^2-1}\le \frac{2x}{3}$ và $ \frac{5}{3}x \le \sqrt{x^3-2} $.

Do đó $x=3$ là nghiệm duy nhất trong trường hợp này.

 

Nếu $\sqrt[3]{3} \le x <3$ thì $\sqrt[3]{x^2-1}\ge \frac{2x}{3}$ trên $[1.26, 3] \supset [\sqrt[3]{3},3]$ và $\frac{5}{3}x > \sqrt{x^3-2} $.

 

Suy ra phương trình vô nghiệm trong trường hợp này.

 

 

Cách 2:

 

Phương trình được viết lại

$\sqrt[3]{x^2-1}-\frac{2x}{3}=\sqrt{x^3-2}-\frac{5x}{3}.$

 

Hay 

 

$-\frac{(x-3)(8x^2 - 3x - 9)}{M}=\frac{((x - 3)(9x^2 + 2x + 6)}{9\sqrt{x^3-2}+15x},$

trong đó $M=27 \left(\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+\frac{2x}{3}\sqrt[3]{x^2-1}+\left(\frac{2x}{3}\right)^2\right).$

 

Với điều kiện, $x\ge \sqrt[3]{3}$, ta có $8x^2 - 3x - 9>0$. Do đó phương trình tương đương $x=3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 14-07-2016 - 15:02

[leminhnghiatt]

\

Bài 83: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{11}-y^{22}=y^{12}-xy^{10} \\ 7y^4+13x=2(y^4\sqrt{x(3x^2+3y^2-1)}-4) \end{matrix}\right.$

 

P/S: Mong các VMFers giải chi tiết

 

Bạn xem lại cái pt (2) của hệ này đúng không , mình nghĩ phải sửa lại thành căn bậc 3 mới làm được 

[leminhnghiatt]

Bài 83: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{11}-y^{22}=y^{12}-xy^{10} \\ 7y^4+13x=2(y^4\sqrt[3]{x(3x^2+3y^2-1)}-4) \end{matrix}\right.$

 

 

Dễ thấy $y=0 \rightarrow x=0$ không là nghiệm của hệ

 

Từ pt (1) ta có: $x^{11}-y^{22}=y^{12}-xy^{10} \iff \dfrac{x^{11}}{y^{11}}-y^{11}=y-\dfrac{x}{y} \iff \dfrac{x^{11}}{y^{11}}+\dfrac{x}{y}=y^{11}+y$

 

$\iff \dfrac{x}{y}=y \iff x=y^2$

 

Thay vào pt (2) ta được pt:

 

$7x^2+13x=2(x^2\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}-4)$

 

$\iff 7x^2+13x+8=2x^2\sqrt[3]{3x^3+3x^2-x}$

 

$\iff \dfrac{8}{x^3}+\dfrac{13}{x^2}+\dfrac{7}{x}=2\sqrt[3]{3+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}}$

 

$\iff (\dfrac{2}{x}+1)^3+2(\dfrac{2}{x}+1)=(3+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2})+2\sqrt[3]{3+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}}$

 

Xét hàm $f(t)=t^3+2t$ hàm đồng biến $\rightarrow \dfrac{2}{x}+1=\sqrt[3]{3+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}}$

 

Đến đây lập phương 2 vế ta sẽ được pt bậc ba theo ẩn $\dfrac{1}{x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 14-07-2016 - 19:01

[NTA1907]

Bài 85: $\left\{\begin{matrix} &2^{x^{2}+1}-4^{8y^{2}+\frac{1}{2}}=3\left ( 2\sqrt{y}-\sqrt{x} \right ) \\ &2^{(x+y)^{2}}+\dfrac{3}{2}\sqrt{x+y}=\dfrac{7}{2} \end{matrix}\right.$

[nguyenduy287]

Bài 85: $\left\{\begin{matrix} &2^{x^{2}+1}-4^{8y^{2}+\frac{1}{2}}=3\left ( 2\sqrt{y}-\sqrt{x} \right ) \\ &2^{(x+y)^{2}}+\dfrac{3}{2}\sqrt{x+y}=\dfrac{7}{2} \end{matrix}\right.$

Pt (1) viết lại $2^{x^2+1}-2^{16y^2+1}=3(2\sqrt{y}-x)$ (x,y không âm ) 

Nếu $2\sqrt{y}> \sqrt{x}=>4y> x=>16y^2+1> x^2+1$

Khi đó $VT= 2^{x^2+1}-2^{16y^2+1}<0< VP$

Trường hợp còn lại tương tự từ đó suy ra $4y=x$

Thế xuống pt dưới $2^{25y^2}+\frac{3}{2}\sqrt{5y}=\frac{7}{2}$

Dễ thấy đây là hàm đông biến trên tập xác định

Shift solve được nghiệm $y=\frac{1}{5}=>x=\frac{4}{5}$

Đây cũng là nghiệm duy nhất của hệ 

P/s : I'm so glad to be back

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Còn bài 81 của mình chưa có lời giải :

Bài 81: Giải phương trình $3x^2+11x-1=13\sqrt{2x^3+2x^2+x-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduy287: 14-07-2016 - 22:28

[NTA1907]

Pt (1) viết lại $2^{x^2+1}-2^{16y^2+1}=3(2\sqrt{y}-x)$ (x,y không âm ) 

Nếu $2\sqrt{y}> \sqrt{x}=>4y> x=>16y^2+1> x^2+1$

Khi đó $VT= 2^{x^2+1}-2^{16y^2+1}<0< VP$

Trường hợp còn lại tương tự từ đó suy ra $4y=x$

Thế xuống pt dưới $2^{25x^2}+\frac{3}{2}\sqrt{5x}=\frac{7}{2}$

Dễ thấy đây là hàm đông biến trên tập xác định

Shift solve được nghiệm $x=\frac{1}{5}=>y=\frac{4}{5}$

Đây cũng là nghiệm duy nhất của hệ 

P/s : I'm so glad to be back

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Còn bài 81 của mình chưa có lời giải :

Bài 81: Giải phương trình $3x^2+11x-1=13\sqrt{2x^3+2x^2+x-1}$

Nghiệm là $(x,y)=\left ( \frac{4}{5};\frac{1}{5} \right )$ chứ bạn

[nguyenduy287]

Nghiệm là $(x,y)=\left ( \frac{4}{5};\frac{1}{5} \right )$ chứ bạn

Sorry . Lơ đãng xíu. Đã sửa rồi nhé  

[NTA1907]

Còn bài 81 của mình chưa có lời giải :

Bài 81: Giải phương trình $3x^2+11x-1=13\sqrt{2x^3+2x^2+x-1}$

Mình thấy bài này nghiệm không ổn lắm

[NTA1907]

Bài 86: $\left\{\begin{matrix} &x+3y^{2}-2y=0 \\ &36\left ( x\sqrt{x}+3y^{3} \right )-27(4y^{2}-y)+\left ( 2\sqrt{3}-9 \right )\sqrt{x}-1=0 \end{matrix}\right.$

[NTA1907]

Bài 86: $\left\{\begin{matrix} &x+3y^{2}-2y=0 \\ &36\left ( x\sqrt{x}+3y^{3} \right )-27(4y^{2}-y)+\left ( 2\sqrt{3}-9 \right )\sqrt{x}-1=0 \end{matrix}\right.$

Đây quả thật là một bài tập rất khó nếu không tinh ý nhận ra. Gợi ý một chút là có liên quan đến lượng giác

[An Infinitesimal]

Bài 86: $\left\{\begin{matrix} &x+3y^{2}-2y=0 \\ &36\left ( x\sqrt{x}+3y^{3} \right )-27(4y^{2}-y)+\left ( 2\sqrt{3}-9 \right )\sqrt{x}-1=0 \end{matrix}\right.$

 

Nhận xét: cả hai phương trình đều "tách biến".

Phương trình thứ nhất được viết lại:

$(\sqrt{x})^2+ 3(y-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{3}.$

Đặt $ u=\sqrt{x}, v=y-\frac{1}{3}$ ($u\ge 0$), ta có hệ phương trình viết lại như sau

$\left\{ \begin{matrix} u^2+3v^2=\frac{1}{3} \\ 36u^3+(2\sqrt{3}-9)u+108v^3 - 9v =0\end{matrix}\right.$

Đây là hệ phương trình đẳng cấp.

 

$\left\{ \begin{matrix} u^2+3v^2=\frac{1}{3} \\ 36u^3+108v^3 =(9-2\sqrt{3})u+9v\end{matrix}\right.$

Hệ tương đương

$\left\{ \begin{matrix} u^2+3v^2=\frac{1}{3} \\ (3+2\sqrt{3})u^3+9v^3 =3(9-2\sqrt{3})uv^2+9vu^2\end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình $(3+2\sqrt{3})t^3+9 =3(9-2\sqrt{3})t+9t^2.$

Phương trình này tương đương

\[t^3 + (9 - 6\sqrt{3})t^2 + (39 - 24\sqrt{3})t + 6\sqrt{3} - 9=0.\]

 

Đặt $w= t+(3-2\sqrt{3})$, ta có

 

\[w^3 + (12\sqrt{3} - 24)w=0.\]

Do đó 

$w=0 \vee w= \pm \sqrt{24-12\sqrt{3}}=\pm 4\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{12}.$

 

Phương trình này có ba  nghiệm

 $t_1=-(3-2\sqrt{3})=4\sqrt{3} \sin^{2}\frac{\pi}{12}\vee  t_{2,3}=  4\sqrt{3}\left(\sin^{2}\frac{\pi}{12}\pm\sin\frac{\pi}{12}\right).$

 

$v= \frac{1}{\sqrt{3(t^2+3)}}$ và $u= t v$.

 

Do đó $x= \frac{t^2}{3(t^2+3)}, y= \frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3(t^2+3)}}.$

 

 

 

... to be continue!

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 21-07-2016 - 09:14

[NTA1907]

Bài 86: $\left\{\begin{matrix} &x+3y^{2}-2y=0 \\ &36\left ( x\sqrt{x}+3y^{3} \right )-27(4y^{2}-y)+\left ( 2\sqrt{3}-9 \right )\sqrt{x}-1=0 \end{matrix}\right.$

 

 

Nhận xét: cả hai phương trình đều "tách biến".

Phương trình thứ nhất được viết lại:

$(\sqrt{x})^2+ 3(y-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{3}.$

Đặt $ u=\sqrt{x}, v=y-\frac{1}{3}$ ($u\ge 0$), ta có hệ phương trình viết lại như sau

$\left\{ \begin{matrix} u^2+3v^2=\frac{1}{3} \\ 36u^3+(2\sqrt{3}-9)u+108v^3 - 9v =0\end{matrix}\right.$

Đây là hệ phương trình đẳng cấp.

 

$\left\{ \begin{matrix} u^2+3v^2=\frac{1}{3} \\ 36u^3+108v^3 =(9-2\sqrt{3})u+9v\end{matrix}\right.$

Hệ tương đương

$\left\{ \begin{matrix} u^2+3v^2=\frac{1}{3} \\ (3+2\sqrt{3})u^3+9v^3 =3(9-2\sqrt{3})uv^2+9vu^2\end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình $(3+2\sqrt{3})t^3+9 =3(9-2\sqrt{3})t+9t^2.$ Phương trình này có duy nhất nghiệm

 $t= 2 \sqrt{3} - 6\sqrt{\sqrt{3} + 2} + 4\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{3} + 2} - 3.$

$v= \frac{1}{\sqrt{3(t^2+3)}}$ và $u= t v$.

 

Do đó $x= \frac{t^2}{3(t^2+3)}, y= \frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3(t^2+3)}}.$

 

Viết dạng đẹp hơn cho $x$:

$x=\frac{\sqrt{\sqrt{3} + 2}}{6} - \frac{\sqrt{3}\, \sqrt{\sqrt{3} + 2}}{12} + \frac{1}{6}=\frac{\sin^2{\frac{\pi}{12}}\cos{\frac{\pi}{12}}+1}{6}.$

... to be continue!

 

 

Nếu sử dụng lượng giác thì cách làm sẽ ngắn và đẹp hơn rất nhiều...

ĐK: $x\geq 0$

Pt(1)$\Leftrightarrow 3x+(3y-1)^{2}=1$

$\Leftrightarrow (\sqrt{3x})^{2}+(3y-1)^{2}=1$

Đặt $\sqrt{3x}=sin t, 3y-1=cos t, t\in \left [ 0;\pi \right ]$

Khi đó thế vào pt(2) ta được:

$36x\sqrt{x}+(2\sqrt{3}-9)\sqrt{x}+4(3y-1)^{3}-3(3y-1)=0$

$\Leftrightarrow \frac{36sin^{3}t}{3\sqrt{3}}+(2\sqrt{3}-9)\frac{sin t}{\sqrt{3}}+4cos^{3}t-3cos t=0$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{3}sin^{3}t-3\sqrt{3}sin t+cos 3t=-2sin t$

$\Leftrightarrow \sqrt{3}sin 3t-cos 3t=2sin t$

$\Leftrightarrow sin\left ( 3t-\frac{\pi }{6} \right )=sin t$

Từ đó ta tìm được: $t\in \left \{ \frac{\pi }{12};\frac{7\pi }{24};\frac{19\pi }{24} \right \}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm: $(x,y)=\left ( \frac{sin^{2}t}{3};\frac{1+cos t}{3} \right )$ với $t\in \left \{ \frac{\pi }{12};\frac{7\pi }{24};\frac{19\pi }{24} \right \}$

 

Bài 87: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x^{3}-3xy^{2}-x+1=y^{2}-2xy-x^{2} \\ &y^{3}-3yx^{2}+y-1=y^{2}+2xy-x^{2} \end{matrix}\right.$

[An Infinitesimal]

Bài 87: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x^{3}-3xy^{2}-x+1=y^{2}-2xy-x^{2} \\ &y^{3}-3yx^{2}+y-1=y^{2}+2xy-x^{2} \end{matrix}\right.$

 

Lời giải cho bài 87:

(Lời giải không đẹp, ý tưởng đơn giản nhưng tính toán nhiều)

(Đang tìm kiếm một lời giải khác)

 

 

Đặt $p1=x^3 + x^2 - 3xy^2 + 2xy - x - y^2 + 1=x^3+x^2+x (-3 y^2+2 y-1)-y^2+1$ và

$p2=- 3x^2y + x^2 - 2xy + y^3 - y^2 + y - 1=x^2 (1-3 y)-2 x y+y^3-y^2+y-1.$


Ta thực hiện một số phép biến đổi sau

$\left\{\begin{matrix} & p11=(1-3y)p1-xp2= ( -y+1) {x}^{2}+ ( ( -1+2y-3{y}^{2})  ( -3y+1) +{y}^{2}-y+1-{y}^{3}) x+ ( -{y}^{2}+1 )  ( -3y+1)
\\ & p22=(1-y)p2-(1-3y)p11= ( -22{y}^{2}+6y+32{y}^{3}-24{y}^{4} ) x-8{y}^{4}+4{y}^{3}+10{y}^{2}-8y+2
\end{matrix}\right.$


Đặt $a=-22{y}^{2}+6y+32{y}^{3}-24{y}^{4}, b=
-536{y}^{5}+6{y}^{2}-130{y}^{3}+364{y}^{4}+448{y}^{6}-192{y}^{7}-2+10y.$


$\left\{\begin{matrix} & p111=a.p11-(1-y)p22=( -536{y}^{5}+6{y}^{2}-130{y}^{3}+364{y}^{4}+448{y}^{6}-192{y}^{7}-2+10y) x-72{y}^{7}+6y-26{y}^{5}+120{y}^{6}-40{y}^{2}-80{y}^{4}+92{y}^{3}\\&

p222=b.p111-a.p22=4-832{y}^{10}-2944{y}^{8}+1888{y}^{9}+192{y}^{11}+1412{y}^{5}-2748{y}^{6}+3356{y}^{7}-260{y}^{4}-156{y}^{3}+124{y}^{2}-36y\end{matrix}\right.$
 

Với $y$ thỏa $y\neq 1, y\neq \frac{1}{3}$ và $ab \neq 0$,

hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} & p1=0\\ & p2=0\end{matrix}\right.$

tương đương với hệ

 

$\left\{\begin{matrix} & p111=0\\ & p222=0\end{matrix}\right.$

 

Phương trình $p222=0$ tương đương

\[4 \left( 3y-1 \right)  \left( 4{y}^{4}-8{y}^{3}+9{y}^{2}-4y+1 \right)  \left( 4{y}^{4}+5{y}^{2}-1 \right)  \left( y-1 \right) ^{2}=0.\]

 

Dễ thấy $4 y^4  - 8 y^3  + 9 y^2  - 4 y + 1>0$ nên  phương trình chỉ có hai nghiệm $y_{1,2}= \pm \sqrt{\frac{\sqrt{41}-5}{8}}.$

 

Từ đó suy ra $x_{1,2}=....$

 

Trường hợp $y= 1 \vee  y= \frac{1}{3} \vee ab = 0$,

Nhận xét:

Nếu $b=0$ và $y\neq 1, \frac{1}{3}$ thì

 

$\left\{\begin{matrix} &-536{y}^{5}+6{y}^{2}-130{y}^{3}+364{y}^{4}+448{y}^{6}-192{y}^{7}-2+10y=0,
\\& 120{y}^{6}-72{y}^{7}+6y-26{y}^{5}-40{y}^{2}-80{y}^{4}+92{y}^{3}=0.\end{matrix}\right.$

Phương trình thứ nhất được viết lại:

\[-2y \left( y-1 \right)  \left( 3y-1 \right)  \left( 2y-1 \right)  \left( y+1 \right)  \left( 6{y}^{2}-5y+3 \right)=0.\]

Suy ra hệ trên vô nghiệm $y\neq 1, \frac{1}{3}$.

 

 

Suy ra $y_3=1$ và $x_3=0.$

 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Điểm đặc biệt: nghiệm hệ phương trình thỏa $(2x+1)y= \pm 1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 21-07-2016 - 20:56

[Baoriven]

Bài 88: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^4-y^4=\frac{3}{4y}-\frac{1}{2x} \\ (x^2-y^2)^5+5=0 \end{matrix}\right.$

[An Infinitesimal]

Bài 88: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^4-y^4=\frac{3}{4y}-\frac{1}{2x} \\ (x^2-y^2)^5+5=0 \end{matrix}\right.$

Không biết mấy bài toán phức tập như Bài 87 và 88 đến từ đâu?

 

 

Quá trình thử nghiệm thất bại- hầu hết các cách đều dẫn đến phương trình bậc 8.

 

 

Các bài toán chưa có lời giải:

Bài 61 của QQspeed22:

 

Giải phương trình

$x^{\frac{1}{x}} = (x+1)^{\frac{1}{x+1}}.$

 

 

 

Bài 67 của  Dinh Xuan Hung:

 

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 4\sqrt[3]{y^2}\left ( x^2y^2+8y^2x+12y^2 \right )+2y\sqrt[3]{y}+1=5\sqrt[3]{y^2}.\sqrt{y(xy+3y)^3} & & \\ \left ( x^2y^2+8xy^2+12y^2 \right )^3+4y^4\left ( x^2y^2+8xy^2+12y^2-1 \right )=1 & & \end{matrix}\right.$

-Đinh Xuân Hùng-

 

Bài 79 của vanchanh123:

 

Bài 79: Tìm tất các các nghiệm phức của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}x^2=y+1, \\y^2=z+1,\\ z^2=x+1.\end{matrix}\right.$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 23-07-2016 - 22:09