Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 16 Bình chọn

Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 373 trả lời

#361 tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:Học toán$$\boxed{\heartsuit \prec VMF \succ \heartsuit }$$

Đã gửi 23-06-2017 - 21:33

P/s: Lời giải này của mình rất khủng nhé! :D

Trường hợp 1: Nếu $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-x-1>0\\x\in \left[ {-\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}};\frac{9}{5}} \right]\end{array} \right.$. Khi đó $\displaystyle \sqrt{{3{{x}^{3}}+1}}\le \frac{{34\sqrt{{10}}}}{{25}}<\frac{9}{2}$. Suy ra được: $$f\left( x \right) = 2{x^4} - 4x + 1 - \left( {{x^3} - x - 1} \right)\sqrt {3{x^3} + 1}  > 2{x^4} - 4x + 1 - \frac{9}{2}\left( {{x^3} - x - 1} \right) = \frac{{4{x^4} - 9{x^3} + x + 11}}{2}$$$$ = \frac{{4{{\left( {{x^2} - \frac{9}{8}x - \frac{9}{{10}}} \right)}^2} + \frac{{171}}{{80}}{x^2} - \frac{{71}}{{10}}x + \frac{{194}}{{25}}}}{2} > 0$$Vậy phương trình vô nghiệm khi $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-x-1>0\\x\le \frac{9}{5}\end{array} \right.$

Trường hợp 2: Nếu $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-x-1<0\\x\in \left[ {-\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}};\frac{9}{5}} \right]\end{array} \right.$. Ta có đánh giá $ \displaystyle \sqrt{{3{{x}^{3}}+1}}>\frac{3}{2}x+\frac{9}{{25}}\left( 1 \right)$

  • Nếu $\displaystyle x\in \left[ {-\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}};-\frac{6}{{25}}} \right]$ thì $(1)$ luôn đúng!
  • Nếu $ \displaystyle x\in \left[ {\frac{{-6}}{{25}};\frac{9}{5}} \right]$ thì $ \displaystyle \left( 1 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-\frac{9}{4}{{x}^{2}}-\frac{{27}}{{25}}x+\frac{{544}}{{625}}>0\Leftrightarrow g\left( x \right)>0$. Ta có:$$g'\left( x \right) = 9{x^2} - \frac{9}{2}x - \frac{{27}}{{25}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{5 \pm \sqrt {73} }}{{20}}$$$$g\left( { - \frac{6}{{25}}} \right) \approx 0,95 > 0;\,g\left( {\frac{9}{5}} \right) = \frac{{22831}}{{2500}} > 0;\,g\left( {\frac{{5 + \sqrt {73} }}{{20}}} \right) \approx 0,0388 > 0;\,\,g\left( {\frac{{5 - \sqrt {73} }}{{20}}} \right) \approx 0,97 > 0$$Vậy $(1)$ luôn đúng!

Khi đó $f\left( x \right) > 2{x^4} - 4x + 1 - \left( {{x^3} - x - 1} \right)\left( {\frac{3}{2}x + \frac{9}{{25}}} \right)$$$ = \frac{{25{x^4} - 18{x^3} + 75{x^2} - 107x + 68}}{{25}} = \frac{{25{x^2}{{\left( {x - \frac{9}{{25}}} \right)}^2} + \frac{{19}}{{25}}{x^2} + 71{{\left( {x - \frac{{107}}{{142}}} \right)}^2} + \frac{{7863}}{{284}}}}{{25}} > 0$$Vậy phương trình vô nghiệm trên $\left[ { - \root 3 \of {\frac{1}{3}} ;\frac{9}{5}} \right]$

Trường hợp 3: Nếu $x \geqslant \frac{9}{5}$

Ta có: $f'\left( x \right) = 8{x^3} - 4 - \frac{{27{x^5} - 15{x^3} - 3{x^2} - 2}}{{2\sqrt {3{x^3} + 1} }} = \frac{{2\left( {8{x^3} - 4} \right)\sqrt {3{x^3} + 1}  - \left( {27{x^5} - 15{x^3} - 3{x^2} - 2} \right)}}{{2\sqrt {3{x^3} + 1} }}$

Để ý thấy:

  1. $8{x^3} - 4 > 0\forall x \geqslant \frac{9}{5}$
  2. $27{x^5} - 15{x^3} - 3{x^2} - 2 = 27{\left( {x - 1} \right)^5} + 135{\left( {x - 1} \right)^4} + 255{\left( {x - 1} \right)^3} + 222{\left( {x - 1} \right)^2} + 84\left( {x - 1} \right) + 7 > 0$

Ta có đánh giá $\sqrt {3{x^3} + 1}  < {x^2} - \frac{1}{5}x + \frac{3}{2}\left( * \right)$

Bây giờ sẽ đi chứng minh $(*)$  luôn đúng.

Ta có: $$\sqrt {3{x^3} + 1}  < {x^2} - \frac{1}{5}x + \frac{3}{2} \Leftrightarrow {x^4} - \frac{{17}}{5}{x^3} + \frac{{76}}{{25}}{x^2} - \frac{3}{5}x + \frac{5}{4} > 0$$$$ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x - \frac{{17}}{{10}}} \right)^2} + \frac{3}{{20}}{\left( {x - 2} \right)^2} + \frac{{13}}{{20}} > 0$$Vậy $(*)$ luôn đúng.

Khi đó $f'\left( x \right) < \left( { - 55{x^5} - 16{x^4} + 195{x^3}} \right) + \left( { - 25{x^2} + 8x - 50} \right) < 0$ 

Suy ra  $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ {\frac{9}{5}; + \infty } \right)$. Vậy  $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 24-06-2017 - 08:07

$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#362 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1808 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 24-06-2017 - 04:36

Bài này có vẻ khá phức tạp nhưng có thể xử lí khá dễ như sau:

$2x-1+\sqrt{2x-1}\sqrt[3]{2x-1+2}=x+2+\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+2+2}$

Xét hàm: $f(t)=t+\sqrt{t}\sqrt[3]{x+2} \implies f(t)'$. Dễ dàng kiểm tra được tính đồng biến

$\implies x+2=2x-1 \implies x=3$

Thử lại và kết luận

Rõ nhầm nhen HoangKhanh.

 

 

 

Nháp


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 24-06-2017 - 04:55

Đời người là một hành trình...


#363 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 25-06-2017 - 07:31

Bài toán 209. Giải phương trình $2{x^4} - 4x + 1 - \left( {{x^3} - x - 1} \right)\sqrt {3{x^3} + 1}  = 0$

ĐKXĐ: $x\geq -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Phương trình $\Leftrightarrow (x-2)(\frac{-3(x^3-x-1)(x^2+2x+4)}{\sqrt{3x^3+1}+5}+2x^3-x^2-2x-3)=0$

Dùng đạo hàm chứng minh được biểu thức trong ngoặc luôn âm với $x\geq -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

$\Rightarrow x=2$


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#364 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1808 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 26-06-2017 - 12:25

ĐKXĐ: $x\geq -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Phương trình $\Leftrightarrow (x-2)(\frac{-3(x^3-x-1)(x^2+2x+4)}{\sqrt{3x^3+1}+5}+2x^3-x^2-2x-3)=0$

Dùng đạo hàm chứng minh được biểu thức trong ngoặc luôn âm với $x\geq -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

$\Rightarrow x=2$

 

Sao nói như đúng rồi vậy?


Đời người là một hành trình...


#365 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 27-06-2017 - 11:29

Bài 210: $\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$
Bài 211**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

 

Spoiler


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#366 Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm,Vĩnh Long

Đã gửi 27-06-2017 - 14:20

Bài 210: Chưa học nghiệm phức nên không có biết tính là nghiệm không.Có gì sai mọi người chỉ dùm! :D

ĐK: $\sqrt{\frac{1}{2}}\leq x\leq \sqrt{2}$

Ta có:$\sqrt{2-x^{2}}\leq \frac{1}{2}(2-x^{2}+1)=\frac{1}{2}(3-x^{2})$(AM-GM)

$\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}\leq \frac{1}{2}(2-\frac{1}{x^{2}}+1)=\frac{1}{2}(3-\frac{1}{x^{2}})$

=> $\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}}\leq \frac{1}{2}(6-x^{2}-\frac{1}{x^2})$(1)

Mặt khác, $4-(x+\frac{1}{x})-(\frac{1}{2}(6-x^{2}-\frac{1}{x^2}))=(x^{2}-x)^{2}+(x-1)^{2}\geq 0$

=>  $4-(x+\frac{1}{x})\geq \frac{1}{2}(6-x^{2}-\frac{1}{x^2})$(2)

(1) ^(2)=>$VT\leq VP$

=> $VT=VP <=> x=1$(nhận)

Vậy S={1}


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#367 githenhi512

githenhi512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng

Đã gửi 30-06-2017 - 15:48

Bài 210: $\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$

Spoiler

Đk: $x\in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}],x\neq 0$

pt $\Leftrightarrow [\sqrt{2-x^2}-(2-x)]+[\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}-(2-\frac{1}{x})]=0$

$\Leftrightarrow \frac{-2(x-1)^2}{\sqrt{2-x^2}+2+x}-\frac{2(x-1)^2.\frac{1}{x^2}}{\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}+(2-\frac{1}{x})}=0\Leftrightarrow x=1$


'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.

Albert Einstein                               


#368 nguyenhuonggiang

nguyenhuonggiang

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Ngọc tảo
  • Sở thích:Kiến trúc và khoa học vũ trụ, toán

Đã gửi 17-09-2017 - 22:46

Bài 212: $\sqrt[3]{(x-1)^{2}}-2\sqrt[3]{x-1}-(x-5)\sqrt{x-8}-3x+31$

Bài 213:$\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^2-2x+5}=3y+\sqrt{y^2+4} \\ x^2-y^2-3x+3y+1=0 \end{matrix}\right.$

Bài 214: $\left\{\begin{matrix}\left [ (4x^2+1)x+y-3 \right ].\sqrt{5-2y}=0 \\4x^2+y^2+2\sqrt{3-4x}=7 \end{matrix}\right.$

Bài 215:$\left\{\begin{matrix}y^2-5\sqrt{x}+5=0 \\ \sqrt{x+2}=\sqrt{y^2+2y+3} - \frac{1}{5}y^2+y \end{matrix}\right.$

Bài 216: $\left\{\begin{matrix}\left ( 3x+\sqrt{3x^2+1} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+1} \right )=1 \\ 8x^3+2y=\sqrt{5x+y+2} \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuonggiang: 17-09-2017 - 22:48


#369 canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 394 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Toán học và Vật lí

Đã gửi 02-12-2017 - 06:16

mn giúp mk với :))

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+xy+1=4y \\y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2 \end{matrix}\right.$


Alpha $\alpha$ 


#370 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1808 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 06-01-2018 - 14:53

mn giúp mk với :))

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+xy+1=4y \\y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2 \end{matrix}\right.$

 

Nhìn nhau chút thôi, ta nhận ra cái đứa $u:=(x^2+1)$ và $v:=y$ xuất hiện ở hai phương trình, xem chúng như ẩn của hệ phương trình tuyến tuyến theo hai ẩn đó; các 'phần' còn lại như tham số.

 

Từ góc nhìn đó, ta có hệ phương trình tuyến tính theo ẩn $u$ và $v$ như sau

$$\begin{cases}\begin{matrix} u-4v=-y(x+y),\\ 2u+7v=y(x+y)^2\end{matrix} \end{cases}$$

 

Giải hệ, ta nhận đươc $$y=v=\frac{y \left(x + y\right) \left(x + y + 2\right)}{15}.$$

 

Do đó $y=0 \vee x+y=3 \vee x+y-5.$

 

Phần còn lại không khó khăn!


Đời người là một hành trình...


#371 canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 394 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Toán học và Vật lí

Đã gửi 14-01-2018 - 10:42

$\left\{\begin{matrix}x^2-4xy+x+2y=0 \\ x^4+8x^2y+3x^2+4y^2=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=5 \\ (xy-1)^2=x^2-y^2+2 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}5x^2-3y=x-3xy \\ x^3-x^2=y^2-3y^3 \end{matrix}\right.$


Alpha $\alpha$ 


#372 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1808 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 14-01-2018 - 11:44

$\left\{\begin{matrix}x^2-4xy+x+2y=0 \\ x^4+8x^2y+3x^2+4y^2=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=5 \\ (xy-1)^2=x^2-y^2+2 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}5x^2-3y=x-3xy \\ x^3-x^2=y^2-3y^3 \end{matrix}\right.$

Bạn vui lòng đánh số cho PT giùm nhen!


Đời người là một hành trình...


#373 Doflamingo

Doflamingo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Đã gửi 25-01-2018 - 10:41

Bài 217: $2\sqrt{2}=\frac{3x}{\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{\sqrt{2}}{1-x^{2}}$
 
Bài 218: $\frac{x^{2}-5x+5}{\sqrt{x-3}}-\sqrt{x-3}=4-x$
 
Bài 219: $2x^{2}+\sqrt{1-x}+2x\sqrt{1-x^{2}}=1$


#374 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1808 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 04-02-2018 - 21:49

"Triệu hồi" L Lawliet!

 

Cả năm trời chúng ta chưa nói chuyện với nhau lời nào!
Hãy quay lại cùng giải PT.

 

P/S: Thật sự rất khó khăn mới có thể tìm lại cái tên (L Lawliet) một cách chính xác.

 

 

Lời giải.

 

Đời người là một hành trình...





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh