Chủ đề này có 375 trả lời

[toila]

Bài toán 2: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &6x^{4}-(x^{3}-x)y^{2}-(y+12)x^{2}=-6 \\ &5x^{4}-(x^{2}-1)^{2}y^{2}-11x^{2}=-5 \end{matrix}\right.$

(đây là bài của bạn PlanByFESN)

(Ghi chú lần sau khi đề xuất bài toán nào các bạn hãy đưa vào một bài đăng khác để tiện theo dõi)

\left\{\begin{matrix}

x^{3}\left ( 3+2y \right )=8 &  & \\ 

 xy\left ( y^{2}+3y+3 \right )=4&  & 

\end{matrix}\right.

giải hệ phương trình

[Dhantae123456]

Ta có: $PT\Leftrightarrow (2x-3)^{3}+2x-3=3x-5+\sqrt[3]{3x-5}\Leftrightarrow 2x-3=\sqrt[3]{3x-5}\Leftrightarrow 8x^{3}-36x^{2}+51x-22=0\Leftrightarrow x=2;x=\frac{5-\sqrt{3}}{4};x=\frac{5+\sqrt{3}}{4}$

 

 

 

Bài toán 4: Giải phương trình sau:$\sqrt{3x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}-x\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^{2}-x+4)$

[Baoriven]

Bài toán: 

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=|x-y| \\ 3^{2+x}+3^{2+y}=30 \end{matrix}\right..$

[Mr Cooper]

Bài toán: 

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=|x-y| \\ 3^{2+x}+3^{2+y}=30 \end{matrix}\right..$

$3^{2+x}+3^{2+y}=30 \Leftrightarrow 3^x + 3^y = \dfrac{10}{3}$ 

Xét $x \ge 0;y \ge 0$ ta có: Không tồn tại $3^x + 3^y$ có dạng phân số (Loại) 

Xét $x \le 0;y \le 0$ ta có: $3^x + 3^y \le 2 < \dfrac{10}{3}$ (loại)

$\Rightarrow$ $x,y$ là $2$ số trái dấu

Không mất tính tổng quát giả sử $x \ge 0;y \le 0$. Đặt $x=a \ge 0 ; -y=b \ge 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=a+b \\ 3^{2+a}+3^{2-b}=30 \end{matrix}\right.$

$a^2+b^2=a+b \ge \dfrac{(a+b)^2}{2} \Rightarrow 2 \ge a+b \Rightarrow 2-b \ge a$ 

$ \Rightarrow 30=3^{2+a}+3^{2-b} \ge 3^{2+a}+3^a = 10.3^a$

$ \Rightarrow 1 \ge a$ $(1)$

Và $a^2+b^2=a+b \Rightarrow a(a-1)+b(b-1)=0$

Vì $a(a-1) \le 0 \Rightarrow b(b-1) \ge 0 \Rightarrow b \ge 1$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow 3^{2+a}+3^{2-b} \le 3^3 + 3 = 30$

Dấu bằng xảy ra khi: $a=1;b=1$ Hay $x=1;y=-1$

Vậy $(x;y)=\begin{Bmatrix}(1;-1);(-1;1)\end{Bmatrix}$

P/s: Lần đầu giải bài trên VMF's Marathon Olympiad

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 17-04-2017 - 18:02

[An Infinitesimal]

$3^{2+x}+3^{2+y}=30 \Leftrightarrow 3^x + 3^y = \dfrac{10}{3}$ 

Xét $x \ge 0;y \ge 0$ ta có: Không tồn tại $3^x + 3^y$ có dạng phân số (Loại) 

Xét $x \le 0;y \le 0$ ta có: $3^x + 3^y \le 2 < \dfrac{10}{3}$ (loại)

$\Rightarrow$ $x,y$ là $2$ số trái dấu

Không mất tính tổng quát giả sử $x \ge 0;y \le 0$. Đặt $x=a \ge 0 ; -y=b \ge 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=a+b \\ 3^{2+a}+3^{2-b}=30 \end{matrix}\right.$

$a^2+b^2=a+b \ge \dfrac{(a+b)^2}{2} \Rightarrow 2 \ge a+b \Rightarrow 2-b \ge a$ 

$ \Rightarrow 30=3^{2+a}+3^{2-b} \ge 3^{2+a}+3^a = 10.3^a$

$ \Rightarrow 1 \ge a$ $(1)$

Và $a^2+b^2=a+b \Rightarrow a(a-1)+b(b-1)=0$

Vì $a(a-1) \le 0 \Rightarrow b(b-1) \ge 0 \Rightarrow b \ge 1$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow 3^{2+a}+3^{2-b} \le 3^3 + 3 = 30$

Dấu bằng xảy ra khi: $a=1;b=1$ Hay $x=1;y=-1$

Vậy $(x;y)=\begin{Bmatrix}(1;-1);(-1;1)\end{Bmatrix}$

P/s: Lần đầu giải bài trên VMF's Marathon Olympiad

 

Không thấy (1) và (2) ở đâu (xem code thì thấy nhưng phần hiển thị thì không).

 

 

Mình đã chỉ ra được $x,y \in [-1,1].$ Và chính nó đã giam cầm suy nghĩ của mình; để rồi mình không nhận ra  mấu chốt- chính là điều sau

 

Và $a^2+b^2=a+b \Rightarrow a(a-1)+b(b-1)=0$

Vì $a(a-1) \le 0 \Rightarrow b(b-1) \ge 0 \Rightarrow b \ge 1$ $(2)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 17-04-2017 - 21:55

[Baoriven]

Anh có bổ sung như thế này nhe Mr Cooper

Em có nhầm lẫn xét $x,y\geq 0$ với $x,y$ nguyên dương nên vội kết luận $3^x+3^y$ không tồn tại dưới dạng phân số.

Vẫn có $x,y\geq 0$ mà thỏa em nhé.

Do đó để phù hợp với cách giải của em , anh sẽ thêm vào đề tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn.

 

P/S: Đây là một đề anh tự nghĩ ra nên không có đáp án. Cảm ơn đóng góp của Mr Cooper.

[An Infinitesimal]

Anh có bổ sung như thế này nhe Mr Cooper

Em có nhầm lẫn xét $x,y\geq 0$ với $x,y$ nguyên dương nên vội kết luận $3^x+3^y$ không tồn tại dưới dạng phân số.

Vẫn có $x,y\geq 0$ mà thỏa em nhé.

Do đó để phù hợp với cách giải của em , anh sẽ thêm vào đề tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn.

 

P/S: Đây là một đề anh tự nghĩ ra nên không có đáp án. Cảm ơn đóng góp của Mr Cooper.

 

Cho x, y\in \mathbb{Z} thì có dẫn đến bài toán tầm thường hay không?  Bằng các đánh giá, ta có thể chỉ ra $x, y\in [-1,1]$. Khi đó, việc tìm nghiệm nguyên trở nên đơn giản bằng phương pháp "thử sai".

[Fire Dragon Slayer]

32+x+32+y=30⇔3x+3y=10332+x+32+y=30⇔3x+3y=103

Xét x≥0;y≥0x≥0;y≥0 ta có: Không tồn tại 3x+3y3x+3y có dạng phân số (Loại) 

Xét x≤0;y≤0x≤0;y≤0 ta có: 3x+3y≤2<1033x+3y≤2<103 (loại)

⇒⇒ x,yx,y là 22 số trái dấu

Không mất tính tổng quát giả sử x≥0;y≤0x≥0;y≤0. Đặt x=a≥0;−y=b≥0x=a≥0;−y=b≥0 ta có:

{a2+b2=a+b32+a+32−b=30{a2+b2=a+b32+a+32−b=30

a2+b2=a+b≥(a+b)22⇒2≥a+b⇒2−b≥aa2+b2=a+b≥(a+b)22⇒2≥a+b⇒2−b≥a

⇒30=32+a+32−b≥32+a+3a=10.3a⇒30=32+a+32−b≥32+a+3a=10.3a

⇒1≥a⇒1≥a (1)(1)

Và a2+b2=a+b⇒a(a−1)+b(b−1)=0a2+b2=a+b⇒a(a−1)+b(b−1)=0

Vì a(a−1)≤0⇒b(b−1)≥0⇒b≥1a(a−1)≤0⇒b(b−1)≥0⇒b≥1 (2)(2)

Từ (1)(1) và (2)(2) ⇒32+a+32−b≤33+3=30⇒32+a+32−b≤33+3=30

Dấu bằng xảy ra khi: a=1;b=1a=1;b=1 Hay x=1;y=−1x=1;y=−1

Vậy (x;y)={(1;−1);(−1;1)}(x;y)={(1;−1);(−1;1)}

   Nhớ LIKE cho mình nhé bạn

 

[Drago]

Anh có bổ sung như thế này nhe Mr Cooper

Em có nhầm lẫn xét $x,y\geq 0$ với $x,y$ nguyên dương nên vội kết luận $3^x+3^y$ không tồn tại dưới dạng phân số.

Vẫn có $x,y\geq 0$ mà thỏa em nhé.

Do đó để phù hợp với cách giải của em , anh sẽ thêm vào đề tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn.

 

P/S: Đây là một đề anh tự nghĩ ra nên không có đáp án. Cảm ơn đóng góp của Mr Cooper.

Phần mình gạch chân, mình nghĩ thực ra không có nghiệm vì từ phương trình$30= 3^{2+x}+3^{2+y}\geq 3^{2}+3^{2}= 162$ vô nghiệm  nên bài toán chắc là giải quyết được bài toán trên tập số thực rồi. Phải không nhờ? :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 26-04-2017 - 21:25

[An Infinitesimal]

$30= ....\geq 3^{2}+3^{2}= 162$ 

Là đây!

$3^{2}+3^{2}= 162$????

[Drago]

Là đây!

$3^{2}+3^{2}= 162$????

Tính nhầm rồi @@, mình nhầm $3^{2}$ thành $9^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 27-04-2017 - 10:14

[Baoriven]

Giải phương trình:

$x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$

[An Infinitesimal]

Giải phương trình:

$x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$

 

Lộ liệu quá nhỉ !

 

Cách 1:

 

\[x \left(e^{x^2-1}-1\right)= -(x^2-1) \left(e^{x}-1\right).\]

Dễ thấy $x=0,  $\pm 1$ là các nghiệm của phương trình.

 

Ta chứng minh phương trình không có nghiệm nào khác (ngoài $0$).

Với $x\neq 0, \pm 1$, phương trình trở thành 

\[\frac{e^{x^2-1}-1}{x^2-1}= -\frac{e^{x}-1}{x}.\]

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm $f(t)=e^t$ trên hai khoảng: khoảng thứ nhất có 2 điểm đầu mút là $0$ và $x^2-1$ và khoảng thứ hai có 2 điểm đầu mút là $0$ và $x$. Tồn tại $a, b$ sao cho 

\[\frac{e^{x^2-1}-1}{x^2-1}=f'(a)=e^a=-e^b=-f'(b)= -\frac{e^{x}-1}{x}.\]

Điều này vô lý.

Suy ra phương trình chỉ có các nghiệm $x=0, \pm 1.$

 

Cách 2:

 Tồn tại $a, b$ sao cho  $e^{x^2-1}-1=(x^2-1)e^a, e^x-1=x e^b.$

Do đó phương trình

\[x \left(e^{x^2-1}-1\right)= -(x^2-1) \left(e^{x}-1\right).\]

được viết lại 

$x(x^2-1)e^a=-(x^2-1)xe^b.$

Suy ra $x(x^2-1)=0.$

Ta kiểm lại,  phương trình chỉ có các nghiệm $x=0, \pm 1.$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 28-04-2017 - 22:46

[thinhnarutop]

Giải phương trình:

$\left\{\begin{matrix}10(y-x)=x^4+9 \\ \sqrt{y}+\sqrt{y-2x}=\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 29-04-2017 - 09:11

[Drago]

Giải phương trình:

$\left\{\begin{matrix}10(y-x)=x^4+9(1) \\ \sqrt{y}+\sqrt{y-2x}=\sqrt{2}(2) \end{matrix}\right.$

Ta có: (2) $\Leftrightarrow 2(y-x)+2\sqrt{y(y-2x)}=2 $

$\Leftrightarrow (y-x)+\sqrt{y(y-2x)}=1 $

$\Leftrightarrow \sqrt{y(y-2x)}=x-y+1 $

$\Rightarrow y^{2}-2xy=x^{2}+y^{2}+1-2xy+2x-2y $

$\Leftrightarrow x^{2}+1+2(x-y)=0 $

$\Rightarrow x^{4}=(2(x-y)+1)^{2}.$

Đặt x-y=z thay vào phương trình (1) ta có:

$-10z=(2z+1)^{2}+9 $

$\Leftrightarrow <=>2z^{2}+7z+5=0 $

$\Leftrightarrow z=-1;z=-\frac{5}{2} $

$\Leftrightarrow x-y=-1;x-y=-\frac{5}{2}$

Thay vào (2) giải 2 trường hợp rồi thử lại nghiệm là xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 29-04-2017 - 11:35

[Baoriven]

Một lời giải khác.

Xét: $\sqrt{y}-\sqrt{y-2x}=\sqrt{\lambda}$.

$\sqrt{y}=\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2$.

$\sqrt{y-2x}=\frac{\sqrt {2}-\sqrt{\lambda}}2$.

$y=(\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2)^2$.

$y-2x=(\frac{\sqrt {2}-\sqrt{\lambda}}2)^2$.

$x=\sqrt{\frac{\lambda}2}$.

$10((\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2)^2-\sqrt{\frac{\lambda}2})=(\sqrt{\frac{\lambda}2})^4+9$.

Từ đó ta được: ${\lambda}^2-10 {\lambda}+16=0 \implies \lambda =8; 2$.

Suy ra: $x=2,y=\frac 92$ hoặc $x=1,y=2$.

[An Infinitesimal]

Ta có: (2) $\Leftrightarrow 2(y-x)+2\sqrt{y(y-2x)}=2 $

$\Leftrightarrow (y-x)+\sqrt{y(y-2x)}=1 $

$\Leftrightarrow \sqrt{y(y-2x)}=x-y+1 $

$\Rightarrow y^{2}-2xy=x^{2}+y^{2}+1-2xy+2x-2y $

$\Leftrightarrow x^{2}+1+2(x-y)=0 $

$\Rightarrow x^{4}=(2(x-y)+1)^{2}.$

Đặt x-y=z thay vào phương trình (1) ta có:

$-10z=(2z+1)^{2}+9 $

$\Leftrightarrow <=>2z^{2}+7z+5=0 $

$\Leftrightarrow z=-1;z=-\frac{5}{2} $

$\Leftrightarrow x-y=-1;x-y=-\frac{5}{2}$

Thay vào (2) giải 2 trường hợp rồi thử lại nghiệm là xong.

 

 

Một lời giải khác.

Xét: $\sqrt{y}-\sqrt{y-2x}=\sqrt{\lambda}$.

$\sqrt{y}=\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2$.

$\sqrt{y-2x}=\frac{\sqrt {2}-\sqrt{\lambda}}2$.

$y=(\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2)^2$.

$y-2x=(\frac{\sqrt {2}-\sqrt{\lambda}}2)^2$.

$x=\sqrt{\frac{\lambda}2}$.

$10((\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2)^2-\sqrt{\frac{\lambda}2})=(\sqrt{\frac{\lambda}2})^4+9$.

Từ đó ta được: ${\lambda}^2-10 {\lambda}+16=0 \implies \lambda =8; 2$.

Suy ra: $x=2,y=\frac 92$ hoặc $x=1,y=2$.

 

Hai lời giải này có vấn đề gì khi  tập nghiệm của hệ không chứa $(-1,0)$?

[Drago]

Hai lời giải này có vấn đề gì khi  tập nghiệm của hệ không chứa $(-1,0)$?

 

Ta có: (2) $\Leftrightarrow 2(y-x)+2\sqrt{y(y-2x)}=2 $

$\Leftrightarrow (y-x)+\sqrt{y(y-2x)}=1 $

$\Leftrightarrow \sqrt{y(y-2x)}=x-y+1 $

$\Rightarrow y^{2}-2xy=x^{2}+y^{2}+1-2xy+2x-2y $

$\Leftrightarrow x^{2}+1+2(x-y)=0 $

$\Rightarrow x^{4}=(2(x-y)+1)^{2}.$

Đặt x-y=z thay vào phương trình (1) ta có:

$-10z=(2z+1)^{2}+9 $

$\Leftrightarrow <=>2z^{2}+7z+5=0 $

$\Leftrightarrow z=-1;z=-\frac{5}{2} $

$\Leftrightarrow x-y=-1;x-y=-\frac{5}{2}$

Thay vào (2) giải 2 trường hợp rồi thử lại nghiệm là xong.

TH: x-y=-1 thay vào (2) giải được bộ (-1;0) mà bạn An Infinitesimal

[An Infinitesimal]

TH: x-y=-1 thay vào (2) giải được bộ (-1;0) mà bạn An Infinitesimal

 

Vậy cần soi thêm  lời giải của Baoviren.

[An Infinitesimal]

Một lời giải khác.

Xét: $\sqrt{y}-\sqrt{y-2x}=\sqrt{\lambda}$.

Điều này chỉ "có nghĩa" khi $y\ge y-2x\ge 0$; do đó $x\ge 0.$ Do đó, lời giải trên chưa xét đến trường hợp $x<0.$

 

Hơn thế, mình kiểm tra được $x\in [-1,1].$ Do đó, hệ phương trình không thể có nghiệm dạng $(2,y).$ 

 

 

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Mình thử vài cách thô thiển.

Hướng 1: Rút $y$ từ phương trình thứ nhất và thay vào phương trình thứ hai.

 

Điều kiện: $y\ge 0, y\ge 2x.$

Ta có $2= \left( \sqrt{y}+\sqrt{y-2x}\right)\ge y+(y-2x)=2(y-x).$ Suy ra $y-x\le 1.$

 

Kết hợp phương trình thứ nhất, ta có $x^4+9= 10(y-x)\le 10.$ Suy ra $|x| \le 1.$

 

Vì $10y=x^4+10x+9$ nên 

\[\sqrt{x^4+10x+9}+ \sqrt{x^4-10x+9}=2\sqrt{5}.\] 

\[\iff \left(\sqrt{x^4+10x+9}-(x+1)\sqrt{5}\right)+ \left(\sqrt{x^4-10x+9}-(-x+1)\sqrt{5}\right)=0.\] 

 

Ngoài hai cách bình phương thô thiển, ta có thể tiếp cận bằng cách nhân lượng liên hợp.

Ta có thể kiểm tra $1$ và $-1$ là các nghiệm của PT.

Với $x\neq 1$ và $x\neq -1,$ ta có phương trình trên tương đương

\[\frac{x^4 - 5x^2 + 4}{\sqrt{x^4+10x+9}+(x+1)\sqrt{5}}+\frac{x^4 - 5x^2 + 4}{\sqrt{x^4-10x+9}+(-x+1)\sqrt{5}}=0.\] 

\[\iff (x^4 - 5x^2 + 4) \left(\frac{1}{\sqrt{x^4+10x+9}+(x+1)\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{x^4-10x+9}+(-x+1)\sqrt{5}}\right)=0.\] 

Vì $x\in (-1,1)$ nên $\frac{1}{\sqrt{x^4+10x+9}+(x+1)\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{x^4-10x+9}+(-x+1)\sqrt{5}}>0.$

 

Hướng 2: Rút $y$ từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình thứ nhất.

 

Từ $\sqrt{y-2x}=\sqrt{2}-\sqrt{y}$, suy ra $\sqrt{2y}=x+1\ge 0.$

Do đó $y=\frac{x^2+2x+1}{2}.$

Thay vào phương trình thứ nhất, ta có 

\[5(x^2+1)=x^4+9.\]

Do đó $x=\pm 1, x=\pm 2.$

Suy ra $(1,2)$ và $(-1,0)$ là tất cả các nghiệm của hệ PT.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 03-05-2017 - 22:14