Đến nội dung

Hình ảnh

Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

* * * * - 17 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 375 trả lời

#361
tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

P/s: Lời giải này của mình rất khủng nhé! :D

Trường hợp 1: Nếu $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-x-1>0\\x\in \left[ {-\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}};\frac{9}{5}} \right]\end{array} \right.$. Khi đó $\displaystyle \sqrt{{3{{x}^{3}}+1}}\le \frac{{34\sqrt{{10}}}}{{25}}<\frac{9}{2}$. Suy ra được: $$f\left( x \right) = 2{x^4} - 4x + 1 - \left( {{x^3} - x - 1} \right)\sqrt {3{x^3} + 1}  > 2{x^4} - 4x + 1 - \frac{9}{2}\left( {{x^3} - x - 1} \right) = \frac{{4{x^4} - 9{x^3} + x + 11}}{2}$$$$ = \frac{{4{{\left( {{x^2} - \frac{9}{8}x - \frac{9}{{10}}} \right)}^2} + \frac{{171}}{{80}}{x^2} - \frac{{71}}{{10}}x + \frac{{194}}{{25}}}}{2} > 0$$Vậy phương trình vô nghiệm khi $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-x-1>0\\x\le \frac{9}{5}\end{array} \right.$

Trường hợp 2: Nếu $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-x-1<0\\x\in \left[ {-\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}};\frac{9}{5}} \right]\end{array} \right.$. Ta có đánh giá $ \displaystyle \sqrt{{3{{x}^{3}}+1}}>\frac{3}{2}x+\frac{9}{{25}}\left( 1 \right)$

  • Nếu $\displaystyle x\in \left[ {-\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}};-\frac{6}{{25}}} \right]$ thì $(1)$ luôn đúng!
  • Nếu $ \displaystyle x\in \left[ {\frac{{-6}}{{25}};\frac{9}{5}} \right]$ thì $ \displaystyle \left( 1 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-\frac{9}{4}{{x}^{2}}-\frac{{27}}{{25}}x+\frac{{544}}{{625}}>0\Leftrightarrow g\left( x \right)>0$. Ta có:$$g'\left( x \right) = 9{x^2} - \frac{9}{2}x - \frac{{27}}{{25}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{5 \pm \sqrt {73} }}{{20}}$$$$g\left( { - \frac{6}{{25}}} \right) \approx 0,95 > 0;\,g\left( {\frac{9}{5}} \right) = \frac{{22831}}{{2500}} > 0;\,g\left( {\frac{{5 + \sqrt {73} }}{{20}}} \right) \approx 0,0388 > 0;\,\,g\left( {\frac{{5 - \sqrt {73} }}{{20}}} \right) \approx 0,97 > 0$$Vậy $(1)$ luôn đúng!

Khi đó $f\left( x \right) > 2{x^4} - 4x + 1 - \left( {{x^3} - x - 1} \right)\left( {\frac{3}{2}x + \frac{9}{{25}}} \right)$$$ = \frac{{25{x^4} - 18{x^3} + 75{x^2} - 107x + 68}}{{25}} = \frac{{25{x^2}{{\left( {x - \frac{9}{{25}}} \right)}^2} + \frac{{19}}{{25}}{x^2} + 71{{\left( {x - \frac{{107}}{{142}}} \right)}^2} + \frac{{7863}}{{284}}}}{{25}} > 0$$Vậy phương trình vô nghiệm trên $\left[ { - \root 3 \of {\frac{1}{3}} ;\frac{9}{5}} \right]$

Trường hợp 3: Nếu $x \geqslant \frac{9}{5}$

Ta có: $f'\left( x \right) = 8{x^3} - 4 - \frac{{27{x^5} - 15{x^3} - 3{x^2} - 2}}{{2\sqrt {3{x^3} + 1} }} = \frac{{2\left( {8{x^3} - 4} \right)\sqrt {3{x^3} + 1}  - \left( {27{x^5} - 15{x^3} - 3{x^2} - 2} \right)}}{{2\sqrt {3{x^3} + 1} }}$

Để ý thấy:

  1. $8{x^3} - 4 > 0\forall x \geqslant \frac{9}{5}$
  2. $27{x^5} - 15{x^3} - 3{x^2} - 2 = 27{\left( {x - 1} \right)^5} + 135{\left( {x - 1} \right)^4} + 255{\left( {x - 1} \right)^3} + 222{\left( {x - 1} \right)^2} + 84\left( {x - 1} \right) + 7 > 0$

Ta có đánh giá $\sqrt {3{x^3} + 1}  < {x^2} - \frac{1}{5}x + \frac{3}{2}\left( * \right)$

Bây giờ sẽ đi chứng minh $(*)$  luôn đúng.

Ta có: $$\sqrt {3{x^3} + 1}  < {x^2} - \frac{1}{5}x + \frac{3}{2} \Leftrightarrow {x^4} - \frac{{17}}{5}{x^3} + \frac{{76}}{{25}}{x^2} - \frac{3}{5}x + \frac{5}{4} > 0$$$$ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x - \frac{{17}}{{10}}} \right)^2} + \frac{3}{{20}}{\left( {x - 2} \right)^2} + \frac{{13}}{{20}} > 0$$Vậy $(*)$ luôn đúng.

Khi đó $f'\left( x \right) < \left( { - 55{x^5} - 16{x^4} + 195{x^3}} \right) + \left( { - 25{x^2} + 8x - 50} \right) < 0$ 

Suy ra  $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ {\frac{9}{5}; + \infty } \right)$. Vậy  $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 24-06-2017 - 08:07

$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#362
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Bài này có vẻ khá phức tạp nhưng có thể xử lí khá dễ như sau:

$2x-1+\sqrt{2x-1}\sqrt[3]{2x-1+2}=x+2+\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+2+2}$

Xét hàm: $f(t)=t+\sqrt{t}\sqrt[3]{x+2} \implies f(t)'$. Dễ dàng kiểm tra được tính đồng biến

$\implies x+2=2x-1 \implies x=3$

Thử lại và kết luận

Rõ nhầm nhen HoangKhanh.

 

 

 

Nháp


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 24-06-2017 - 04:55

Đời người là một hành trình...


#363
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Bài toán 209. Giải phương trình $2{x^4} - 4x + 1 - \left( {{x^3} - x - 1} \right)\sqrt {3{x^3} + 1}  = 0$

ĐKXĐ: $x\geq -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Phương trình $\Leftrightarrow (x-2)(\frac{-3(x^3-x-1)(x^2+2x+4)}{\sqrt{3x^3+1}+5}+2x^3-x^2-2x-3)=0$

Dùng đạo hàm chứng minh được biểu thức trong ngoặc luôn âm với $x\geq -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

$\Rightarrow x=2$


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#364
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

ĐKXĐ: $x\geq -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Phương trình $\Leftrightarrow (x-2)(\frac{-3(x^3-x-1)(x^2+2x+4)}{\sqrt{3x^3+1}+5}+2x^3-x^2-2x-3)=0$

Dùng đạo hàm chứng minh được biểu thức trong ngoặc luôn âm với $x\geq -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

$\Rightarrow x=2$

 

Sao nói như đúng rồi vậy?


Đời người là một hành trình...


#365
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Bài 210: $\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$
Bài 211**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

 

Spoiler


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#366
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Bài 210: Chưa học nghiệm phức nên không có biết tính là nghiệm không.Có gì sai mọi người chỉ dùm! :D

ĐK: $\sqrt{\frac{1}{2}}\leq x\leq \sqrt{2}$

Ta có:$\sqrt{2-x^{2}}\leq \frac{1}{2}(2-x^{2}+1)=\frac{1}{2}(3-x^{2})$(AM-GM)

$\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}\leq \frac{1}{2}(2-\frac{1}{x^{2}}+1)=\frac{1}{2}(3-\frac{1}{x^{2}})$

=> $\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}}\leq \frac{1}{2}(6-x^{2}-\frac{1}{x^2})$(1)

Mặt khác, $4-(x+\frac{1}{x})-(\frac{1}{2}(6-x^{2}-\frac{1}{x^2}))=(x^{2}-x)^{2}+(x-1)^{2}\geq 0$

=>  $4-(x+\frac{1}{x})\geq \frac{1}{2}(6-x^{2}-\frac{1}{x^2})$(2)

(1) ^(2)=>$VT\leq VP$

=> $VT=VP <=> x=1$(nhận)

Vậy S={1}


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#367
githenhi512

githenhi512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết

Bài 210: $\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$

Spoiler

Đk: $x\in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}],x\neq 0$

pt $\Leftrightarrow [\sqrt{2-x^2}-(2-x)]+[\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}-(2-\frac{1}{x})]=0$

$\Leftrightarrow \frac{-2(x-1)^2}{\sqrt{2-x^2}+2+x}-\frac{2(x-1)^2.\frac{1}{x^2}}{\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}+(2-\frac{1}{x})}=0\Leftrightarrow x=1$


'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.

Albert Einstein                               


#368
nguyenhuonggiang

nguyenhuonggiang

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Bài 212: $\sqrt[3]{(x-1)^{2}}-2\sqrt[3]{x-1}-(x-5)\sqrt{x-8}-3x+31$

Bài 213:$\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^2-2x+5}=3y+\sqrt{y^2+4} \\ x^2-y^2-3x+3y+1=0 \end{matrix}\right.$

Bài 214: $\left\{\begin{matrix}\left [ (4x^2+1)x+y-3 \right ].\sqrt{5-2y}=0 \\4x^2+y^2+2\sqrt{3-4x}=7 \end{matrix}\right.$

Bài 215:$\left\{\begin{matrix}y^2-5\sqrt{x}+5=0 \\ \sqrt{x+2}=\sqrt{y^2+2y+3} - \frac{1}{5}y^2+y \end{matrix}\right.$

Bài 216: $\left\{\begin{matrix}\left ( 3x+\sqrt{3x^2+1} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+1} \right )=1 \\ 8x^3+2y=\sqrt{5x+y+2} \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuonggiang: 17-09-2017 - 22:48


#369
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

mn giúp mk với :))

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+xy+1=4y \\y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2 \end{matrix}\right.$


Alpha $\alpha$ 


#370
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

mn giúp mk với :))

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+xy+1=4y \\y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2 \end{matrix}\right.$

 

Nhìn nhau chút thôi, ta nhận ra cái đứa $u:=(x^2+1)$ và $v:=y$ xuất hiện ở hai phương trình, xem chúng như ẩn của hệ phương trình tuyến tuyến theo hai ẩn đó; các 'phần' còn lại như tham số.

 

Từ góc nhìn đó, ta có hệ phương trình tuyến tính theo ẩn $u$ và $v$ như sau

$$\begin{cases}\begin{matrix} u-4v=-y(x+y),\\ 2u+7v=y(x+y)^2\end{matrix} \end{cases}$$

 

Giải hệ, ta nhận đươc $$y=v=\frac{y \left(x + y\right) \left(x + y + 2\right)}{15}.$$

 

Do đó $y=0 \vee x+y=3 \vee x+y-5.$

 

Phần còn lại không khó khăn!


Đời người là một hành trình...


#371
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

$\left\{\begin{matrix}x^2-4xy+x+2y=0 \\ x^4+8x^2y+3x^2+4y^2=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=5 \\ (xy-1)^2=x^2-y^2+2 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}5x^2-3y=x-3xy \\ x^3-x^2=y^2-3y^3 \end{matrix}\right.$


Alpha $\alpha$ 


#372
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

$\left\{\begin{matrix}x^2-4xy+x+2y=0 \\ x^4+8x^2y+3x^2+4y^2=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=5 \\ (xy-1)^2=x^2-y^2+2 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}5x^2-3y=x-3xy \\ x^3-x^2=y^2-3y^3 \end{matrix}\right.$

Bạn vui lòng đánh số cho PT giùm nhen!


Đời người là một hành trình...


#373
Doflamingo

Doflamingo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
Bài 217: $2\sqrt{2}=\frac{3x}{\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{\sqrt{2}}{1-x^{2}}$
 
Bài 218: $\frac{x^{2}-5x+5}{\sqrt{x-3}}-\sqrt{x-3}=4-x$
 
Bài 219: $2x^{2}+\sqrt{1-x}+2x\sqrt{1-x^{2}}=1$


#374
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

"Triệu hồi" L Lawliet!

 

Cả năm trời chúng ta chưa nói chuyện với nhau lời nào!
Hãy quay lại cùng giải PT.

 

P/S: Thật sự rất khó khăn mới có thể tìm lại cái tên (L Lawliet) một cách chính xác.

 

 

Lời giải.

 

Đời người là một hành trình...


#375
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

 

 

Dễ thấy $x \not =0$ đc suy ra từ pt (1)

 

Xét (2) Chia cả 2 vế cho $x^3$ ta được:

 

$2x^3y\sqrt{4y^2+1}+2x^3y=\sqrt{x^4+x^2}+x^2$

 

$\iff 2y+2y\sqrt{(2y)^2+1}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}$

 

$\rightarrow 2y=\dfrac{1}{x}$

 

Thay vào (1) ta có:

 

$4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{(1-x)(1+x)}$

 

Đặt $\sqrt{1-x}=a; \sqrt{1+x}=b$

 

$\iff 2a^2+ab-b^2-2(2a-b)=0$

 

$\iff (2a-b)(a+b-2)=0$

 

Đến đây ta thay $a,b$ để giải tiếp

 

 

Chỗ này cần xem lại nhé

Khi chia 2 vế cho $x^3$ thì

$2y + 2y\sqrt{(2y)^2+1} = \dfrac{1}{x} + \sqrt{\dfrac{x^4}{x^6} + \dfrac{x^2}{x^6}} $

$\iff 2y + 2y\sqrt{(2y)^2+1} = \dfrac{1}{x} + \sqrt{\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^4}}$

$\iff 2y + 2y\sqrt{(2y)^2 + 1} = \dfrac{1}{x} + \sqrt{\dfrac{1}{x^2} + 1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 19-03-2023 - 13:12


#376
Le Binh Minh

Le Binh Minh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

 

Bài 217: $2\sqrt{2}=\frac{3x}{\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{\sqrt{2}}{1-x^{2}}$
 
Bài 218: $\frac{x^{2}-5x+5}{\sqrt{x-3}}-\sqrt{x-3}=4-x$
 
Bài 219: $2x^{2}+\sqrt{1-x}+2x\sqrt{1-x^{2}}=1$

 

Đang rỗi nên lướt qua bài 218

Điều kiện: x>3

$\frac{x^{2}-5x+5}{\sqrt{x-3}}-\sqrt{x-3}=4-x$

$\Leftrightarrow x^{^2} -6x+8=(4-x)\sqrt{x-3}$

$\Leftrightarrow (x^2-8x+16)+(x-4)\sqrt{x-3}+2(x-4)=0$

$\Leftrightarrow (x-4)(x-2+\sqrt{x-3})=0$

$\Leftrightarrow ...$

(Đến đây ta dễ dàng xét 2 trường hợp giải phương trình tích)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh