Bài toán 16: Giải phương trình:
$$(2x-1)(\sqrt{x+2}+\sqrt[3]{3x+2})=4(x+1)$$
ĐK: $x \geq -2$
$3(2x-1)\sqrt{x+2}+3(2x-1)\sqrt[3]{3x+2}=12(x+1)$
$\rightarrow (2x-1)[3\sqrt{x+2}-(x+4)]+3(2x-1)(\sqrt[3]{3x+2}-x)+(2x-1)(x+4)+3(2x-1)x-12(x+1)=0$
$\rightarrow -\dfrac{(2x-1)(x^2-x-2)}{3\sqrt{x+2}+x+4}-\dfrac{3(2x-1)(x+1)(x^2-x-2)}{A}+8(x^2-x-2)=0$ ($A=\sqrt[3]{3x+2}^2+x\sqrt[3]{3x+2}+x^2$)
$\rightarrow (x^2-x-2)[ -\dfrac{2x-1}{3\sqrt{x+2}+x+4}-\dfrac{3(2x-1)(x+1)}{A}+8]=0$
Ta sẽ chứng minh phần trong ngoặc vô nghiệm
Ta có: $2-\dfrac{2x-1}{3\sqrt{x+2}+x+4}=\dfrac{6\sqrt{x+2}+9}{3\sqrt{x+2}+x+4}>0$ (1)
$6-\dfrac{3(2x-1)(x+1)}{A}=\dfrac{6\sqrt[3]{3x+2}^2+6x\sqrt[3]{3x+2}-3x+3}{A}$
Ta sẽ chứng minh tử số dương: Đặt $\sqrt[3]{3x+2}=a$
$6\sqrt[3]{3x+2}^2+6x\sqrt[3]{3x+2}-3x+3=2a^4-a^3+6a^2-4a+5=(2a^4-a^3+4a^2)+(a-2)^2+1>0$ (với mọi $a$)
Vậy $6-\dfrac{3(2x-1)(x+1)}{A}=\dfrac{6\sqrt[3]{3x+2}^2+6x\sqrt[3]{3x+2}-3x+3}{A}>0$ (2)
$(1)+(2) \rightarrow -\dfrac{2x-1}{3\sqrt{x+2}+x+4}-\dfrac{3(2x-1)(x+1)}{A}+8>0$
Vậy nghiệm pt $x=2; x=-1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 30-05-2016 - 12:42