Chủ đề này có 4 trả lời

[Tocquan]

1 - Cho $a,b,c\not=0$, thỏa mãn a+b+c = abc và $a^2=b+c$

Chứng minh

$a^2\geq3$

 

2 - a,b,c là độ dài 3 cạnh cua tam giác nhạn; với x,y,z là số thực khác 0

Chứng minh

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$>$\frac{2x^2+2y^2+2z^2}{a^2+b^2+c^2}$

 

3 - Tìm số nguyên a sao cho phương trình $x^2-ax-(a+3)=0$  có nghiệm nguyên

 

4 - Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=4

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$x^2+y^2+\frac{33}{xy}$

 

5 - Cho x,y,z>0 và x+y+z=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của S=$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$

 

6 - Tìm giá trị lớn nhất của

S=$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}$ biết x+y=4

 

7 - Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

y=$3\sqrt{x-1}+9\sqrt{5-x}$

 

8 - Tím x,y nguyên thoản mãn

$x+y+xy+2=x^2+y^2$

 

9 - Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3

Chứng minh: $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq\frac{3}{2}$

 

10 - Giải phương trình nghiệm nguyên

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$

 

11 - Tìm x biết

$(2-\sqrt{3})^x+(7-4\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^x$=$4(2-\sqrt{3})$

 

12-Tìm giá trị lớn nhất của

M=$(2x-x^2)(y-2y^2)$ (0 $\leq$ x $\leq$ 2; 0 $\leq$ y $\leq$ $\frac{1}{2}$)

 

13 - Cho $a^2+b^2+c^2=1$ (a,b,c $\in$ R)

Chứng minh

$a+b+c\leq2abc+\sqrt{2}$

 

14 - Tìm x,y, x nguyên thỏa mãn

$x^2+y^2+xy-x^2y^2=0$

 

15 - Cho a không đổi, x,y \in R thay đổi. Tìm giá trình lớn nhất của

F(x;y)=$(x-2y+1)^2+(2x+ay+5)^2$

 

16 - a,b,c>0

Chứng minh: $(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq4(a+b)$

 

17 - Chứng minh

$\sqrt{2x^2+sy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2x^2+zx+2z^2}\geq\sqrt{5}$

 

18 - Tìm x,y, z biết

x+y+x8=$2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{x-3}$

 

19 - Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\sqrt{(x+2010)^2}+\sqrt{(x-2010)^3}$

 

20 - Tìm giá trị nhỏ nhất của

A = $\frac{x}{2009}$ + $\frac{2009}{x-2009}$ (biết x>2009)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tocquan: 28-05-2016 - 15:55

[hoakute]

5/ $\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\geq \frac{(1+2+3)^{2}}{x+y+z}=36$

10/ Do x,y khác 0 nên hoặc x khác 3 hoặc y khác 3

 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{3}-\frac{1}{y}\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{y-3}{3y}\Rightarrow x=\frac{3y}{y-3}$

Mà x nguyên nên $\frac{3y}{y-3}$ nguyên => đến đây có thể giải ok rồi.

[githenhi512]

$20. A=\frac{x-2009}{2009}+\frac{2009}{x-2009}+1\geq 2+1=3\Rightarrow Min A=3\Leftrightarrow x=4018$

$18. Đk: x\geq 1, y\geq 2, z\geq 3. x+y+z+8=2.1.\sqrt{x-1}+2.2.\sqrt{y-2}+2.3.\sqrt{z-3}\leq 1+x-1+4+z-2+9+z-3=x+y+z+8\Rightarrow \sqrt{x-1}=1,\sqrt{y-2}=2, \sqrt{z-3}=3\Rightarrow x=1, y=6, z=12(t/m)$

17. Hình như còn thiếu: x+y+z=1

$\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=\frac{\sqrt{8y^2+4xy+8y^2}}{2}=0.5.\sqrt{3(x-y)^2+5(x+y)^2}\geq 0.5.\sqrt{5}.(x+y)$

Tương tự $\Rightarrow VT\geq \sqrt{5}(x+y+z)=\sqrt{5}(đpcm). Dấu ''='' xr \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

$11. Đặt 2-\sqrt{3}=a\neq 1\Rightarrow 2+\sqrt{3}=\frac{1}{a}\Rightarrow a+\frac{1}{a}=4\Rightarrow a^x+a^2.\frac{1}{a^x}=a(a+\frac{1}{a})=1+a^2\Leftrightarrow a^{2-x}-1=a^x(a^{2-x}-1)$

Nếu a^2-x=1, x=2

Nếu a^x=0(vô lí)

9. $\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

Tương tự $\Rightarrow VT\geq \sum a-\frac{\sum ab}{2}\geq 3-\frac{(\sum a)^2}{6}=1.5(đpcm)$

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[githenhi512]

8. $\Leftrightarrow x^2-x(y+1)+y^2-y-2=0.\Delta =-3y^2+6y+9=3(y+1)(3-y)\Rightarrow -1\leq y\leq 3\Rightarrow y\in \left \{ -1;0;1;2;3 \right \}...$

$7. Đk: 1\leq x\leq 5. y^2\leq (3^2+9^2)(x-1+5-x)=360\Rightarrow Min y=6\sqrt{10}\Leftrightarrow x-1=5-x\Leftrightarrow x=3(t/m)$

$6. S^2\leq (x-1+y-2).2=2\Rightarrow Max S=\sqrt{2}\Leftrightarrow x-1=y-2\Leftrightarrow x=1.5; y=2.5$

$4. P\geq 0.5(x+y)^2+\frac{33.4}{(x+y)^2}=16.25\Rightarrow Min P=16.25\Leftrightarrow x=y=2$

$3. \Delta =a^2+4a+12$

Pt có no nguyên $\Leftrightarrow (a+2)^2+8=n^2(n\in \mathbb{N})\Rightarrow (a+2-n)(a+2+n)=-8. Mà a+2-n\leq a+2+n\Rightarrow a+2-n=-1; a+2+n=8 hoặc a+2+n=4;  a+2-n=-2 hoặc a+2-n=-4 ; a+2+n=2 hoặc a+2-n=-8; a+2+n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi githenhi512: 28-05-2016 - 17:52

[bleble]

Bài 2. Nhân chéo và quy đồng mẫu ta được 

$$-x^{2}a^{2}b^{2}-y^{2}a^{2}b^{2}c^{2}-z^{2}a^{2}b^{2}c^{2}+x^{2}b^{4}c^{2}+x^{2}b^{2}c^{4}+y^{2}b^{4}c^{2}+y^{2}b^{2}c^{4}+z^{2}b^{4}c^{2}+z^{2}b^{2}c^{4}>0 => (xbc)^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+(yac)^{2}(-b^{2}+c^{2}+a^{2})+(zab)^{2}(b^{2}-c^{2}+a^{2})>0$$

Áp dụng định lý cos trong tam giác =>đpcm

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bleble: 31-05-2016 - 21:06