Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng (n+1)(n+2)...(3n) chia hết cho $3^n$ với mọi số tự nhiên n


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
NoEmotion

NoEmotion

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Chứng minh rằng (n+1)(n+2)...(3n) chia hết cho $3^n$ với mọi số tự nhiên n



#2
phuocchubeo

phuocchubeo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Bài này dùng quy nạp thôi bạn.

*)Xét mệnh đề với n=1 ta có:

$(n+1)(n+2)...(3n)=2.3=6\vdots 3^{1}$

Suy ra mệnh đề đúng với n=1.

*) Ta giả sử với n=k$(k \in N^{*} )$ thì mệnh đề đúng.

$\Rightarrow (k+1)(k+2)...(3k)\vdots 3^{k}$

Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1

Thật vậy, ta có với n=k+1 thì

$(n+1)(n+2)..(3n)=(k+2)(k+3)...(3k)(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3.(k+1)(k+2)(k+3)...(3k)(3k+1)(3k+2)$

Mà $(k+1)(k+2)...(3k)\vdots 3^{k}$

$\Rightarrow 3(k+1)(k+2)...(3k)\vdots 3^{k+1}$

$\Rightarrow (n+1)(n+2)...(3n)\vdots 3^{k+1}$

Suy ra mệnh đề đúng với n=k+1

Theo nguyên lí quy nạp toán học ta có đpcm.


Tập tõm bước đi trên con đường toán học. :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3
takarin1512

takarin1512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Ta có $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( 3n \right )=\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}$

Để chứng minh  $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( 3n \right )$ chia hết cho $3^n$ ta sẽ chứng minh số mũ của thùa số nguyên tố3 trong phép phân tích thừa số nguyên tố của $\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}$ lớn hoặc bằng hơn $n$

Ta có công thức tính số mũ của một giai thừa trong phép phân tích số nguyên tố $p$ sẽ là $v_p^{n!}=\sum_{i=1 }^{+\infty}\left [ \frac{n}{p^i} \right ]$

Do đó ta có: $v_3^{\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}}=v_3^{\left ( 3n \right )!}-v_3^{n!}=\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{3n}{3^i} \right ]-\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^i} \right ]=\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^{i-1}} \right ]-\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^i} \right ]=\left [ \frac{n}{3^{1-1}} \right ]=n$

Vậy ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 29-05-2016 - 21:57


#4
xuantungjinkaido

xuantungjinkaido

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết

Ta có $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( 3n \right )=\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}$

Để chứng minh  $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( 3n \right )$ chia hết cho $3^n$ ta sẽ chứng minh số mũ của thùa số nguyên tố3 trong phép phân tích thừa số nguyên tố của $\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}$ lớn hoặc bằng hơn $n$

Ta có công thức tính số mũ của một giai thừa trong phép phân tích số nguyên tố $p$ sẽ là $v_p^{n!}=\sum_{i=1 }^{+\infty}\left [ \frac{n}{p^i} \right ]$

Do đó ta có: $v_3^{\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}}=v_3^{\left ( 3n \right )!}-v_3^{n!}=\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{3n}{3^i} \right ]-\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^i} \right ]=\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^{i-1}} \right ]-\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^i} \right ]=\left [ \frac{n}{3^{1-1}} \right ]=n$

Vậy ta có đpcm

cách này sao nghĩ ra được,mình nghĩ cách bạn đầu tiên là ok rồi






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh