Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 1 tháng 6/2016: Mô hình phân giác với các đường tròn tiếp xúc

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 29-05-2016 - 20:07

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 1 tháng 6 và kèm theo đó là bài toán mới:

 

Bài 41. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\odot (O).E,F$ là các điểm bất kì lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $CA,AB$. Các tia $EF,FE$ lần lượt cắt $\odot (O)$ tại các điểm $G,H.\odot (I)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $FG,FA$ tại $P,Q$ và tiếp xúc trong $\odot (O).\odot (J)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $EH,EA$ tại $M,N$ và tiếp xúc trong $\odot (O).MN$ cắt $PQ$ tại $R.AK$ là đường cao của tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $AR$ là phân giác $\angle OAK$.

Post 169.png

Hình vẽ bài toán

P/s: Anh em nào có ý tưởng gì cho việc đặt tiêu đề không? :)

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 29-05-2016 - 20:24


#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1560 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 29-05-2016 - 20:29

Theo bổ đề Sawayama thì $PQ$ và $MN$ sẽ cùng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AGH$ là $R$

Do đó $AR$ là phân giác góc $GAH$, mà $AK, AO$ đẳng giác góc $A$ tam giác $AGH$ nên $AR$ là phân giác góc $OAK$

P/s. Góp ý về tiêu đề: "Mô hình phân giác với các đường tròn tiếp xúc"

Nghe lúa quá :v


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 29-05-2016 - 20:30

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 29-05-2016 - 22:13

Bài này là tổng quát một bài thi vô địch Nga, lời giải của Khoa rất chuẩn rồi. Bài toán nằm trong chuỗi bài viết về định lý Sawayama và Thébault trong các bài hình học thi Olympic sẽ có trong kỳ số Epsilon 8.

 

Tuy nhiên đúng là khi tổng quát lên thì bài toán khá dễ thấy qua định lý Sawayama và Thébault. Chú ý rằng trường hợp riêng khi $EF\parallel BC$ thì $MN$ và $PQ$ cắt nhau trên phân giác góc $A$. Do đó mình đề xuất một bài toán liên quan như sau

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(J),(I)$ lần lượt tiếp xúc đoạn $CA,AB$ tại $N,Q$ và tiếp xúc trong $(O)$. Gọi $MP$ là một tiếp tuyến chung ngoài của $(J),(I)$. Chứng minh rằng $MN$ và $PQ$ cắt nhau trên phân giác $\angle BAC$ khi và chỉ khi $MP\parallel BC$.



#4 cleverboy

cleverboy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 29-05-2016 - 22:29

Ta có thể phát biểu lại bài toán như sau

1.png

Một bài toán liên quan đến cấu hình này

2.png

 



#5 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 30-05-2016 - 09:55

Bài toán 2 bản chất chỉ là hệ quả của bổ đề quen thuộc sau:

Bổ đề. Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB.\odot (I)$ tiếp xúc $AB$ tại $S$ và tiếp xúc $\odot (O)$ tại $M$. Khi đó $MS$ đi qua điểm chính giữa cung $AB$ không chứa $M$.

Chứng minh. Ta có: $\frac{IS}{OT}=\frac{IM}{OM}$ nên theo định lí $Talet$ thì $IS\parallel OT$. Mặt khác $IS\perp AB$ nên $OT\perp AB\Longrightarrow T$ là điểm chính giữa cung $AB$ không chứa $M$.

Post 172.png

Giải bài toán. Giả sử $G,H$ lần lượt là giao của $PM$ với $\odot (O)$.

$PQ$ cắt $MN$ tại $X$. Theo bổ đề Sayawama thì $X$ là tâm nội tiếp tam giác $AGH\Longrightarrow AX$ đi qua điểm chính giữa cung $GH$.

Theo bổ đề trên ta suy ra $SM,TP$ cùng đi qua điểm chính giữa cung $GH$. Gọi điểm đó là $Y$. Hiển nhiên $\overline{A,X,Y}$ nên theo định lí Dersagues ta suy ra $NQ,MP,UV$ đồng quy. $\blacksquare$

Post 173.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 31-05-2016 - 16:46






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh