Lâu quá không giải toán dạng này, công lực giảm sút, ngay bây giờ chỉ xin i <=> ii
Dễ thấy chỉ cần CM : i => ii
Nhắc lại một xíu,
Một tập compact có đến hai đn tương đương: mọi dãy đều co dãy con hôi tụ trong nó, hoặc mọi phủ mở đều trích ra được phủ con hữu hạn.
Một tập B là tiền compact khi với moi e>0 đều có hũu han những quả cầu bán kính e phủ B.
CM:
B gạch compact=> B tiền compact. Xét e>0 bất kì, do B tiền compact nên có tập C hữu hạn sao cho với mọi b trong B co c trong C sao cho ||b-c||<e/2 (1)
Xét D=conv©, do C hũu hạn nên D compact (CM không khó ), nên D là tiền compact => có F sao cho với mọi d trong D co f trong F sao cho ||d-f||<e/2 (2)
Ta CM rằng với mọi b trong conv(B) có f trong F sao cho ||b-f||)< e, và do đó conv(B) là tiền compact, nên conv(B ) gạch tiền compact
Thật vậy, xét b trong conv(B), khi đó có b1,b2,...,bn trong B và các số thực dương x1,x2,...,xn có tổng =1 sao cho b=
Mà theo (1) ta có c1,c2,...,cn trong C sao cho ||bi-ci||<e/2
Xét c=
, khi đó
||b-c||<=
<e/2
Vì c thuộc D nên theo (2) có f trong F sao cho ||c-f||<e/2
Lúc ấy ||b-f||<=||b-c||+||c-f||<e (đpcm)
Đến đây bài toán coi như xong nếu ta CM được KQ : Trong không gian Banach, tập B đóng, tiền compac thì compact.
CM: Xét dãy x1,x2,...,xn,...
Vì B tiền compact nên xây dưng được dãy xn1,xn2,...,xnk,... sao cho |xni-xnj|<2^{-i}, Dãy này là dãy con của {xn}, hơn nũa nó còn là dãy Cauchy trong không gian Banach nên nó hội tụ về x nào đó , do B đóng nên x trong B
Va do đó B la compact.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 03-06-2006 - 18:58
