Cho x,y>1 t/m: x+y+3=xy. Tìm Max P= $\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$
Tìm Max P= $\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$
#1
Đã gửi 29-05-2016 - 23:28
- leminhnghiatt, Thislife, MinMax2k và 1 người khác yêu thích
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
#2
Đã gửi 30-05-2016 - 09:36
Cho x,y>1 t/m: x+y+3=xy. Tìm Max P= $\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$
$x+y+3=xy \leq \dfrac{(x+y)^2}{4} \rightarrow (x+y)^2-4(x+y)-12 \geq 0 \rightarrow (x+y-6)(x+y+2) \geq 0 \rightarrow x+y \geq 6$
TT: $x+y+3=xy \rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{3}{xy}=1$
$\rightarrow 1 \leq \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{3}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2 \rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \geq \dfrac{2}{3}$
Ta có: $P=\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{y^2}}+\dfrac{1}{x+y}$
$= \dfrac{3\sqrt{\dfrac{8}{9}(1-\dfrac{1}{x^2})}}{2\sqrt{2}}+\dfrac{3\sqrt{\dfrac{8}{9}(1-\dfrac{1}{y^2})}}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{x+y}$
$\leq \dfrac{3(\dfrac{8}{9}+1-\dfrac{1}{x^2})}{4\sqrt{2}}+\dfrac{3(\dfrac{8}{9}+1-\dfrac{1}{y^2})}{4\sqrt{2}}+\dfrac{1}{x+y}$
$= \dfrac{17\sqrt{2}}{12}-\dfrac{3(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2})}{4\sqrt{2}}+\dfrac{1}{6}$
$\leq \dfrac{17\sqrt{2}}{12}-\dfrac{3(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2)}{8\sqrt{2}}+\dfrac{1}{6}$
$\leq \dfrac{17\sqrt{2}}{12}-\dfrac{3.(\dfrac{2}{3})^2}{8\sqrt{2}}+\dfrac{1}{6}$
$=\dfrac{1+8\sqrt{2}}{6}$
Dấu "=" $\iff x=y=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 30-05-2016 - 09:42
- I Love MC, githenhi512, thang1308 và 2 người khác yêu thích
Don't care
#3
Đã gửi 30-05-2016 - 10:05
Cho x,y>1 t/m: x+y+3=xy. Tìm Max P= $\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$
Cách khác $:$
Ta có P=$\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}} +\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}} +\frac{1}{x+y}\leq \sqrt{2(2-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}})} +\frac{1}{4}*(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ ( $Cauchy-Schwarz$ )
$\Rightarrow P \leq \sqrt{2(2-\frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}}{2})}+ \frac{1}{4}*(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) $
Từ điều kiện x,y>1 $\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y} < 2$
và $$ x+y+3=xy \Rightarrow 3=\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{3}{xy} \leq \frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{3}{4}*(\frac{1}{x} +\frac{1}{y})^{2}(AM-GM)$$
Đặt $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} =a$ Ta được :
$$\begin{cases} 3\leq a+\frac{3}{4}*a^{2} \\a<2 \end{cases}$$
$$\Rightarrow \frac{2}{3} \leq a <2 $$
Xét $P=f(a)=\sqrt{4-a^{2}} +\frac{1}{4}a$ trên $ [\frac{2}{3};2)$ ta được $f(a)$ nghịch biến
Nên $\Rightarrow f(a) \leq f(\frac{2}{3}) = \frac{1+8\sqrt{2}}{6}$
- leminhnghiatt, githenhi512, thang1308 và 1 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh