Chủ đề này có 1 trả lời

[Tran Thanh Truong]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$a^2b+b^2c+c^2a\geq \frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}$

[the unknown]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$a^2b+b^2c+c^2a\geq \frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}$

BĐT tương đương với: $(a^2b+b^2c+c^2a)(2+\frac{1}{a^2b^2c^2})\geq 9$ $\Leftrightarrow 2(a^2b+b^2c+c^2a)+(\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2})\geq 9$.

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ cho bộ $3$ số ta có:

                                      $a^2b+a^2b+\frac{1}{ab^2}\geq 3\sqrt{a^2b.a^2b.\frac{1}{ab^2}}=3a$

                                      $b^2c+b^2c+\frac{1}{bc^2}\geq 3\sqrt{b^2c.b^2c.\frac{1}{bc^2}}=3b$

                                      $c^2a+c^2a+\frac{1}{ca^2}\geq 3\sqrt{c^2a.c^2a.\frac{1}{ca^2}}=3c$

Nên ta suy ra: $2(a^2b+b^2c+c^2a)+(\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}) \geq 3(a+b+c)=9$

Vậy bài toán được chứng minh.