Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}}{b^{2}+2c+3}+\frac{a}}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
ngocminhxd

ngocminhxd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

cho a,b,c là các số dương thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.

CMR $\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{a}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocminhxd: 30-05-2016 - 20:52

#Bé_Nú_Xđ


#2
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Bài này có ảnh này rep rồi:

 

 

Ta có: $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}=\sum \frac{a}{a^{2}+1+2b+2}\leq \sum \frac{a}{2(a+b+1)}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1\Rightarrow \sum (\frac{a}{a+b+1}-1)\leq -2\Rightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}.(\sum (b+1)(a+b+1))\geq (a+b+c+3)^{2}\Rightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (b+1)(a+b+1)}=\frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab+3\sum a+3}$

Mặ khác: $2(\sum a^{2}+\sum ab+3\sum a+3)=2\sum a^{2}+2\sum ab+6\sum a+6=\sum a^{2}+2\sum ab+6\sum a+9=(a+b+c+3)^{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{(a+b+c+3)^{2}}=1$

Vậy BĐT đã được chứng minh!!!!!

 

:huh:


#3
xuantungjinkaido

xuantungjinkaido

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết

cho a,b,c là các số dương thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.

CMR $\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{a}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$

http://diendantoanho...c23frac1c22a23/ đây



#4
ngocminhxd

ngocminhxd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

Bài này có ảnh này rep rồi:

 

giải bình thường được không ạ tớ không hỉu cái dấu đó ạ


#Bé_Nú_Xđ





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh