Chủ đề này có 6 trả lời

[Radioactive]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: abc=1

 

CM:$\frac{b+c}{\sqrt{a}}$+$\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}$$\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

[leminhnghiatt]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: abc=1

 

CM:$\frac{b+c}{\sqrt{a}}$+$\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}$$\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

Ta có: $\dfrac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a} \geq 2\sqrt{b}; \dfrac{c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a} \geq 2\sqrt{c}$

 

$\rightarrow \dfrac{b+c}{\sqrt{a}} \geq 2\sqrt{b}+2\sqrt{c}-2\sqrt{a}$

 

$\rightarrow \sum \dfrac{b+c}{\sqrt{a}} \geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} +3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}= \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

 

Vậy $ \sum \dfrac{b+c}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

 

Dấu "=" $\iff a=b=c=1$

[Radioactive]

Ta có: $\dfrac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a} \geq 2\sqrt{b}; \dfrac{c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a} \geq 2\sqrt{c}$

 

$\rightarrow \dfrac{b+c}{\sqrt{a}} \geq 2\sqrt{b}+2\sqrt{c}-2\sqrt{a}$

 

$\rightarrow \sum \dfrac{b+c}{\sqrt{a}} \geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} +3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}= \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

 

Vậy $ \sum \dfrac{b+c}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

 

Dấu "=" $\iff a=b=c=1$cam on

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Radioactive: 31-05-2016 - 08:52

[nguyenduy287]

ta có abc=1 nên $1=\sqrt{abc}\leq (\frac{\sum \sqrt{a}}{3})^3$ nên $\sum \sqrt{a}\geq 3$

bđt đầu bài viết lại $\sum \frac{b}{\sqrt{a}}+\sum \frac{c}{\sqrt{a}}\geq 2\sum \sqrt{a}\geq \sum \sqrt{a}+3$ điều phải chứng minh

[Thislife]

Cách khác $:$

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b\geq c $ , khi đó áp dụng bất đẳng thức hoán vị cho hai bộ đơn điệu cùng chiều sau:

$$(b+c,a+c,a+b) $$

$$(\frac{1}{\sqrt{a}},\frac{1}{\sqrt{b}},\frac{1}{\sqrt{c}})$$ 

Ta được :$VT \geq \sum \sqrt{a} +\sum \frac{b}{\sqrt{c}} \geq \sum \sqrt{a} +3 $ 

[leminhnghiatt]

ghi rõ lại đi

tại sao từ dòng 2 xuống dòng 3 được

bỏ xích ma ghi lại rõ giùm 

TT: $\dfrac{c+a}{\sqrt{b}} \geq 2\sqrt{c}+2\sqrt{a}-2\sqrt{b}$

 

$\dfrac{a+b}{\sqrt{c}} \geq 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}-2\sqrt{c}$

 

Đến đây c cộng các bđt lại với nhau sẽ có dòng thứ 3

[xuantungjinkaido]

ghi rõ lại đi

tại sao từ dòng 2 xuống dòng 3 được

bỏ xích ma ghi lại rõ giùm 

đúng rồi mà