Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Cmr: $\prod (a+b)\ge \prod (c+ab)$
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Cmr: $\prod (a+b)\ge \prod (c+ab)$
#1
Đã gửi 01-06-2016 - 11:03
Lấy bất biến ứng vạn biến
#2
Đã gửi 01-06-2016 - 11:33
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Cmr: $\prod (a+b)\ge \prod (c+ab)$
Áp dụng AM- GM, ta có:
Ta có:
$\left ( c+ab \right )\left ( b+ac \right )\leq \frac{\left ( c+ab+b+ac \right )^{2}}{4}\\\Rightarrow \sqrt{\left ( c+ab \right )\left ( b+ac \right )}\leq \frac{1}{2}.\left ( b+c \right )\left ( a+1 \right )$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi nhân lại, ta có
$\prod \left ( c+ab \right )\leq \frac{1}{8}.\prod \left ( a+b \right ).\prod \left ( a+1 \right )\leq \frac{1}{8}.\prod \left ( a+b \right ).\frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{3}}{27}=\prod \left ( a+b \right )\rightarrow Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 01-06-2016 - 11:36
- tritanngo99, NTA1907 và ngothithuynhan100620 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt_03
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $64(\sum a)^4\ge 243(\prod{(a+b)^2})$Bắt đầu bởi tritanngo99, 22-03-2017 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$Bắt đầu bởi TanSan26, 28-10-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 07-07-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2} \leq \frac{3}{4}$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 21-05-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 18-05-2016 bdt_03 |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh