Đến nội dung

Hình ảnh

CM:$(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1})^{2}+(\sqrt{c^{2}+1}+\sqrt{d^{2}+1})^{2}\leq (a+b+c+d)^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
minh2582001

minh2582001

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

$a,b,c,d>0$ thỏa mãn:$a+b+c+d=abc+bcd+cda+dab$

CM:$(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1})^{2}+(\sqrt{c^{2}+1}+\sqrt{d^{2}+1})^{2}\leq (a+b+c+d)^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 01-06-2016 - 21:18

Phải có liều mới có ngày mai...


#2
cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết

$a,b,c,d>0$ thỏa mãn:$a+b+c+d=abc+bcd+cda+dab$

CM:P=$(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1})^{2}+(\sqrt{c^{2}+1}+\sqrt{d^{2}+1})^{2}\leq (a+b+c+d)^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1})^2\leq (a+c+b+d)(\frac{a^2+1}{a+c}+\frac{b^2+1}{b+d})$

$(\sqrt{c^2+1}+\sqrt{d^2+1})^2\leq (c+b+a+d)(\frac{c^2+1}{b+c}+\frac{d^2+1}{a+d})$

Cộng theo vế của hai bất đẳng thức trên ta được:

$P\leq (a+b+c+d)(\frac{a^2+1}{a+c}+\frac{b^2+1}{b+d}+\frac{c^2+1}{b+c}+\frac{d^2+1}{a+d})$

Ta có:
$a^2+1=a^2+\frac{abc+bcd+cda+dab}{a+b+c+d}= \frac{(a+b)(a+c)(a+d)}{a+b+c+d}$

$\Rightarrow \frac{a^2+1}{a+c}= \frac{(a+b)(a+d)}{a+b+c+d}$

Tương tự rồi cộng theo vế ta có:

$\frac{a^2+1}{a+c}+\frac{b^2+1}{b+d}+\frac{c^2+1}{b+c}+\frac{d^2+1}{a+d}= \frac{(a+b)(a+d)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+d)+(b+d)(c+d)}{a+b+c+d}= a+b+c+d$

dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=d=1


Nothing in your eyes





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh