Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{1}{a(a+b)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

Cho a,b,c là các số dương , Chứng minh :  $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(b+c)} + \frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 02-06-2016 - 03:00

Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096


#2
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Cho a,b,c là các số dương , Chứng minh :  $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(b+c)} + \frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

 

$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{\dfrac{(a+b+c)^3}{27}.\dfrac{8(a+b+c)^3}{27}}}=\frac{27}{2(a+b+c)^2}$



#3
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Cho a,b,c là các số dương , Chứng minh :  $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(b+c)} + \frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$

Đặt vế trái của BĐT là $S$.

Ta có: $(\dfrac{1}{\sqrt{a}} +\dfrac{1}{\sqrt{b}} +\dfrac{1}{\sqrt{c}})^2=(\dfrac{1}{\sqrt{a(a+b)}}.\sqrt{a+b} +\dfrac{1}{\sqrt{b(b+c)}}.\sqrt{b+c}+ \dfrac{1}{\sqrt{c(c+a)}}.\sqrt{c+a})^2 \le S. 2(a+b+c) $

Do đó ta cần chứng minh $(a+b+c)(\dfrac{1}{\sqrt{a}} +\dfrac{1}{\sqrt{b}} +\dfrac{1}{\sqrt{c}})^2  \ge  27 $

đúng theo bđt $AM-GM$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh