Chủ đề này có 2 trả lời

[hiroshima]

cho ba số không âm a,b,c chứng minh rằng

$\sqrt{a+b}$+$\sqrt{b+c}$+$\sqrt{c+a}$>$\sqrt{2a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{2c}$

[NTA1907]

cho ba số không âm a,b,c chứng minh rằng

$\sqrt{a+b}$+$\sqrt{b+c}$+$\sqrt{c+a}$>$\sqrt{2a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{2c}$

Ta chứng minh được: $2\sqrt{a+b}\geq \sqrt{2a}+\sqrt{2b}$ 

$\Leftrightarrow 4(a+b)\geq 2(a+b)+4\sqrt{ab}$

$\Leftrightarrow 2(a-2\sqrt{ab}+b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0$(luôn đúng)

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

[quanminhanh]

theo bunhiacopski có

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}\leq 2(a+b)\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}\rightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})$

=> đpcm