Chủ đề này có 26 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

ĐỀ THI TUYỂN SINH

VÀO KHỐI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN ĐH SƯ PHẠM 2016-2017

Môn thi: Toán học

(Dùng cho  thí sinh thi vào Chuyên Toán và Chuyên Tin)

Thời gian làm bài:150 phút

 

Câu 1: (1,5 điểm) Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với mọi giá trị nguyên dương của $n$:

 

$$P=\left ( \sqrt{n^2+\left ( n+1 \right )^2}+\sqrt{\left ( n-1 \right )^2+n^2} \right )\sqrt{4n^2+2-2\sqrt{4n^4+1}}$$

 

Câu 2 (2,5 điểm)

 

a)Tìm số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn : $x^3-y^3=95(x^2+y^2)$

 

b)Tìm các số thực $x,y$ thỏa mãn:

 

$$\frac{x^2-4}{x}+\frac{y^2-4}{y}+8=4\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1} \right )$$

 

Câu 3 (2,0 điểm) Cho $S$ là tập hợp các số nguyên dương $n$ có dạng $n=x^2+3y^2$ trong đó $x,y$ là các số nguyên dương.Chứng minh rằng:

 

a)Nếu $a,b \in S$ thì $ab \in S$

 

b)Nếu $N \in S$ và $N$ chẵn thì $N$ chia hết cho $4$ và $\frac{N}{4} \in S$

 

Câu 4 (3,0 điểm)

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn $AB<AC$ . Kẻ đường cao $ẠH$ . Đường tròn $(O)$ đường kính $AH$ cắt cạnh $AB,AC$ tương ứng tại $D,E$ .Đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $BC$ tại $S$ 

 

a)Chứng minh rằng $BDEC$ là tứ giác nội tiếp

 

b)Chứng minh rằng $SB.SC=SH^2$

 

c)Đường thẳng $SO$ cắt $AB,AC$ tương ứng tại $M,N$ đường thẳng $DE$ cắt $HM,HN$ tương ứng tại $P,Q$ .Chứng minh rằng: $BP , CQ$ và $AH$ đồng quy

 

Câu 5 (1,0 điểm) Giả sử mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu : xanh,đỏ,vàng . Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là ba đỉnh của một tam giác cân

 

HẾT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 03-06-2016 - 16:56

[hoctrocuaHolmes]

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH

VÀO KHỐI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN ĐH SƯ PHẠM 2016-2017

Môn thi: Toán học

(Dùng cho  thí sinh thi vào Chuyên Toán và Chuyên Tin)

Thời gian làm bài:150 phút

 

 

Câu 3 (2,0 điểm) Cho $S$ là tập hợp các số nguyên dương $n$ có dạng $n=x^2+3y^2$ trong đó $x,y$ là các số nguyên dương.Chứng minh rằng:

 

a)Nếu $a,b \in S$ thì $ab \in S$

 

b)Nếu $N \in S$ và $N$ chẵn thì $N$ chia hết cho $4$ và $\frac{N}{4} \in S$

 

 

Câu 5 (1,0 điểm) Giả sử mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu : xanh,đỏ,vàng . Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là ba đỉnh của một tam giác cân

 

HẾT

 

 

Câu 3:1 bài toán của thầy Nam Dũng,đã được thảo luận tại đây

Câu 5:Chém câu tổ không biết đã chuẩn chưa 

Xét bát giác đều $ABCDEFGH$

Xét theo 1 điểm bất kì nối 7  điểm còn lại,theo Dirichlet tồn tại 3 điểm có cùng màu.

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm đó cùng màu đỏ.

Giả sử điểm đang xét là $A$ và 3 điểm màu đỏ là $B,C,E$,nếu $D$ màu đỏ ta có đpcm,giả sử $D$ màu xanh.

Gọi $O$ là tâm của bát giác nếu $O$ có màu đỏ ta có đpcm

Nếu $O$ màu xanh

+1 trong 4 điểm $A,H,G,F$ có màu xanh ta có đpcm

+Áp dụng định lý Dirichlet,tồn tại ít nhất 3 điểm có cùng màu đỏ hoặc vàng.

Giả sử $G,A$ màu đỏ thì tam giác $GEC,ABC$ là tam giác cần tìm

+Nếu $A,G$ màu vàng thì $H$ màu vàng ta có đpcm

+Nếu $H$ màu đỏ,gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $FE,CD,AB$

+Khi đó $J,I$ màu vàng (nếu $J,I$ màu đỏ thì tam giác $BJE,IHC$ là tam giác cần tìm)

+Nếu $K$ màu đỏ thì tam giác $KAF$ là tam giác cần tìm

+Nếu $K$ màu vàng thì tam giác $KJI$ là tam giác cần tìm

Trường hơp $O$ màu vàng tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 03-06-2016 - 17:50

[hoangtubatu955]

Ảnh

Hình gửi kèm

• 

[minhrongcon2000]

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH

VÀO KHỐI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN ĐH SƯ PHẠM 2016-2017

Môn thi: Toán học

(Dùng cho  thí sinh thi vào Chuyên Toán và Chuyên Tin)

Thời gian làm bài:150 phút

Câu 4 (3,0 điểm)

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn $AB<AC$ . Kẻ đường cao $ẠH$ . Đường tròn $(O)$ đường kính $AH$ cắt cạnh $AB,AC$ tương ứng tại $D,E$ .Đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $BC$ tại $S$ 

 

a)Chứng minh rằng $BDEC$ là tứ giác nội tiếp

 

b)Chứng minh rằng $SB.SC=SH^2$

 

c)Đường thẳng $SO$ cắt $AB,AC$ tương ứng tại $M,N$ đường thẳng $DE$ cắt $HM,HN$ tương ứng tại $P,Q$ .Chứng minh rằng: $BP , CQ$ và $AH$ đồng quy

 

HẾT

 

Chém câu hình luôn nhé! Câu a,b thì chắc ai cũng làm được nên mình xin chém câu c. 

Dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ nên suy ra được $MH$_|_ $HE$. Mà $HE$ _|_ $AC$ nên $MH//AC$. Tương tự, ta cũng chứng minh được $NH//AB$. Từ đó suy ra các tứ giác $BDPH$ và $CEQH$ nội tiếp. Từ đó ta sẽ có 

$\widehat{DPB}=\widehat{DHB}=\widehat{BAH}=\widehat{SEH}$ và $\widehat{EQC}=\widehat{EHC}=\widehat{CAH}=\widehat{EDH}$ 

Từ đó, ta sẽ chứng minh được $BP$ và $CQ$ lần lượt là hai đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH$,$BP$,$CQ$ đồng quy

[sharker]

ai làm bài cuối đi @@ hại quá 

[minhrongcon2000]

Bài được đăng ở đây rồi bạn! 

[hoangtubatu955]

Câu 5. 

 Tính chất quen thuộc: 3 đỉnh bất kì của một ngũ giác đều thì tao giác một tam giác cân.

Ta xét một đường tròn tâm $C$. Trên đường tròn $(C)$ lấy ra 2 ngũ giác đều $ A_1A_2A_3A_4A_5$ và $B_1B_2B_3B_4B_5$.

Giả sử $C$ được tô xanh.

Khi đó nếu trong 10 điểm $ A_1,A_2,...,A_5,B_1,B_2,...,B_5$ cố 2 điểm được tô xanh thì ta có điều phải chứng minh.

Xét trường hợp trong 10 điểm chỉ có nhiều nhất 1 điểm được tô xanh. Khi đó trong 2 ngũ giác đều $ A_1A_2A_3A_4A_5$ và $B_1B_2B_3B_4B_5$ tồn tại 1 ngũ giác không có điểm xanh.

Giả sử $B_1B_2B_3B_4B_5$ không có điểm xanh, khi đó tồn tại 3 đỉnh trong ngũ giác đều này được tô cùng màu, từ đây ta có điều phải chứng minh. 

Hình gửi kèm

• 

[hoangtubatu955]

Câu 5.

Câu 5.

 Tính chất quen thuộc: 3 đỉnh bất kì của một ngũ giác đều thì tao giác một tam giác cân.

Ta xét một đường tròn tâm $C$. Trên đường tròn $(C)$ lấy ra 2 ngũ giác đều $ A_1A_2A_3A_4A_5$ và $B_1B_2B_3B_4B_5$.

Giả sử $C$ được tô xanh.

Khi đó nếu trong 10 điểm $ A_1,A_2,...,A_5,B_1,B_2,...,B_5$ cố 2 điểm được tô xanh thì ta có điều phải chứng minh.

Xét trường hợp trong 10 điểm chỉ có nhiều nhất 1 điểm được tô xanh. Khi đó trong 2 ngũ giác đều $ A_1A_2A_3A_4A_5$ và $B_1B_2B_3B_4B_5$ tồn tại 1 ngũ giác không có điểm xanh.

Giả sử $B_1B_2B_3B_4B_5$ không có điểm xanh, khi đó tồn tại 3 đỉnh trong ngũ giác đều này được tô cùng màu, từ đây ta có điều phải chứng minh. 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 03-06-2016 - 18:36

[hoangtubatu955]

Câu 3:1 bài toán của thầy Nam Dũng,đã được thảo luận tại đây

Câu 5:Chém câu tổ không biết đã chuẩn chưa 

Xét bát giác đều $ABCDEFGH$

Xét theo 1 điểm bất kì nối 7  điểm còn lại,theo Dirichlet tồn tại 3 điểm có cùng màu.

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm đó cùng màu đỏ.

Giả sử điểm đang xét là $A$ và 3 điểm màu đỏ là $B,C,E$,nếu $D$ màu đỏ ta có đpcm,giả sử $D$ màu xanh.

Gọi $O$ là tâm của bát giác nếu $O$ có màu đỏ ta có đpcm

Nếu $O$ màu xanh

+1 trong 4 điểm $A,H,G,F$ có màu xanh ta có đpcm

+Áp dụng định lý Dirichlet,tồn tại ít nhất 3 điểm có cùng màu đỏ hoặc vàng.

Giả sử $G,A$ màu đỏ thì tam giác $GEC,ABC$ là tam giác cần tìm

+Nếu $A,G$ màu vàng thì $H$ màu vàng ta có đpcm

+Nếu $H$ màu đỏ,gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $FE,CD,AB$

+Khi đó $J,I$ màu vàng (nếu $J,I$ màu đỏ thì tam giác $BJE,IHC$ là tam giác cần tìm)

+Nếu $K$ màu đỏ thì tam giác $KAF$ là tam giác cần tìm

+Nếu $K$ màu vàng thì tam giác $KJI$ là tam giác cần tìm

Trường hơp $O$ màu vàng tương tự

sp1.JPG

Chưa chặt bạn ạ, bạn giải sử $B,C,E$ là không được rồi, vì nó phụ thuộc hình vẽ. Trường hợp này sẽ khác trường hợp kia.

[hoctrocuaHolmes]

Chưa chặt bạn ạ, bạn giải sử $B,C,E$ là không được rồi, vì nó phụ thuộc hình vẽ. Trường hợp này sẽ khác trường hợp kia.

Bài này em cũng nghĩ là em giải nó không chuẩn lắm .Em sửa thế này ạ:

Em nghĩ là vai trò của cặp điểm $E$ và $H$;$G$ và $F$ là giống nhau nên sẽ tương tự

Nếu là $B,C,F$ thì lập luận tương tự cũng ra $H,A$ phải màu vàng suy ra $G$ màu đỏ từ đó có $E$ màu vàng.Gọi trung điểm $T$ của $GF$ nữa là bài toán được giải quyết

Đó là trường hợp có 2 đỉnh kề nhau,nếu như 2 đỉnh liên tiếp không cùng 1 màu

Xét điểm $B$ thì chỉ có các điểm $D,F,H$ sẽ cùng màu với $B$ 

Khi đó thì nhận thấy từng trường hợp điểm ta đều có tam giác thỏa mãn đề bài

Nếu em thêm lời giải vào như vậy đã ổn chưa ạ? 

[anhquannbk]

Bài hình c) có thể lý luận theo hình phẳng cấp 3 như sau

Xét $\bigtriangleup ABC$ và $\bigtriangleup HPQ$ 

ta có

$ AB \cap HP = M$

$AC \cap HQ =N $

$ BC \cap PQ = S $

Ta có $ S, M, N $ thẳng hàng

Theo định lý $Desargues$ ta có $AH, BP, CQ $ đồng quy.

[honmacarong100]

Chém câu hình luôn nhé! Câu a,b thì chắc ai cũng làm được nên mình xin chém câu c. 

Dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ nên suy ra được $MH$_|_ $HE$. Mà $HE$ _|_ $AC$ nên $MH//AC$. Tương tự, ta cũng chứng minh được $NH//AB$. Từ đó suy ra các tứ giác $BDPH$ và $CEQH$ nội tiếp. Từ đó ta sẽ có 

$\widehat{DPB}=\widehat{DHB}=\widehat{BAH}=\widehat{SEH}$ và $\widehat{EQC}=\widehat{EHC}=\widehat{CAH}=\widehat{EDH}$ 

Từ đó, ta sẽ chứng minh được $BP$ và $CQ$ lần lượt là hai đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH$,$BP$,$CQ$ đồng quytriangle.png

Tại sao lại dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ được luôn à bạn. 

Mình ngồi cả buổi chiều chỉ cần chứng minh được cái đấy là ra luôn mà.. Ngồi mãi mà chẳng ra..

[Hoangtheson2611]

Câu 2b : 

 $P=\sum \frac{x^{2}-4}{x}-\frac{4\sqrt{x-1}.x}{x}+\frac{4x}{x}=0 => P=\sum \frac{(x-2\sqrt{x-1})^{2}}{x}=0$

Từ đó suy ra được x=y=2

[hoangtubatu955]

Câu 5. Thực ra nó dấu ý ngũ giác khi cho các mặt phẳng, cũng như bài này.

Đề tuyển sinh Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh năm 2013-2014 (Năm mình thi)

http://diendantoanho...13-2014-chuyên/

[trambau]

Bài hình c) có thể lý luận theo hình phẳng cấp 3 như sau

Xét $\bigtriangleup ABC$ và $\bigtriangleup HPQ$ 

ta có

$ AB \cap HP = M$

$AC \cap HQ =N $

$ BC \cap PQ = S $

Ta có $ S, M, N $ thẳng hàng

Theo định lý $Desargues$ ta có $AH, BP, CQ $ đồng quy.

lớp 9 đã học định lí đó đâu ạ, a có thể c.m lại e xem đc ko

[anhquannbk]

lớp 9 đã học định lí đó đâu ạ, a có thể c.m lại e xem đc ko

a chỉ nói lý luận theo kiểu định lý Desargues thì nó ngắn hơn thôi

còn THCS thì không được dùng

muốn dùng thì chứng minh lại bằng Ceva với Menelaus cũng khá dài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 03-06-2016 - 22:42

[hoaichung01]

ai làm câu phương trình nghiệm nguyên giúp mình với !

[Katyusha]

Chém câu hình luôn nhé! Câu a,b thì chắc ai cũng làm được nên mình xin chém câu c. 

Dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ nên suy ra được $MH$_|_ $HE$. Mà $HE$ _|_ $AC$ nên $MH//AC$. Tương tự, ta cũng chứng minh được $NH//AB$. Từ đó suy ra các tứ giác $BDPH$ và $CEQH$ nội tiếp. Từ đó ta sẽ có 

$\widehat{DPB}=\widehat{DHB}=\widehat{BAH}=\widehat{SEH}$ và $\widehat{EQC}=\widehat{EHC}=\widehat{CAH}=\widehat{EDH}$ 

Từ đó, ta sẽ chứng minh được $BP$ và $CQ$ lần lượt là hai đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH$,$BP$,$CQ$ đồng quytriangle.png

Chứng minh $\triangle MHE$ vuông tại $H$ thế nào vậy bạn 

[minhrongcon2000]

Chứng minh $\triangle MHE$ vuông tại $H$ thế nào vậy bạn 

Sorry bạn! Mình hơi nhầm tí! Mình sẽ post lời giải khác sau!

[minhrongcon2000]

Đường thẳng qua $H$ song song với $AC$ cắt $AB$ tại $M'$, đường thẳng qua $H$ song song với $AB$ cắt $AC$ tại $N'$. Từ đó, ta có $AM'HN'$ là hình bình hành $\Rightarrow$ $M'$,$O$,$N'$ thẳng hàng. $(1)$

Theo định lí Menelaus cho 3 điểm $S$,$D$,$E$ của $\Delta ABC$, ta có:

$\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}.\frac{DA}{DB}=1$.

Lại có $\frac{EC}{EA}=\frac{HC^{2}}{HA^{2}}$ và $\frac{DA}{DB}=\frac{HA^{2}}{HB^{2}}$ nên $\frac{SB}{SC}.\frac{HC^{2}}{HB^{2}}=1$. Mặt khác, theo định lí $Thales$, ta có $\frac{HC}{HB}=\frac{M'A}{M'B}=\frac{N'C}{N'A}$ nên ta có $\frac{SB}{SC}.\frac{M'A}{M'B}.\frac{N'C}{N'A}=1$. Do đó, theo định lí Menelaus đảo, ta có ba điểm $S$,$M'$,$N'$. $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có $S,M',O,N'$ thẳng hàng nên $M\equiv M'$ và $N\equiv N'$. Từ đó, ta sẽ chứng minh được các tứ giác $BDPH$ và $CEQH$ nội tiếp. Suy ra $BP$ và $CQ$ lần lượt là hai đường cao của $\Delta ABC$. Nên $BP,CQ,AH$ đồng qui.