Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi môn Toán chuyên trường Chuyên Sư Phạm - Hà Nội năm 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 26 trả lời

#21 ThoiPhong

ThoiPhong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Đã gửi 05-06-2016 - 15:54

Chém câu hình luôn nhé! Câu a,b thì chắc ai cũng làm được nên mình xin chém câu c. 

Dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ nên suy ra được $MH$_|_ $HE$. Mà $HE$ _|_ $AC$ nên $MH//AC$. Tương tự, ta cũng chứng minh được $NH//AB$. Từ đó suy ra các tứ giác $BDPH$ và $CEQH$ nội tiếp. Từ đó ta sẽ có 

$\widehat{DPB}=\widehat{DHB}=\widehat{BAH}=\widehat{SEH}$ và $\widehat{EQC}=\widehat{EHC}=\widehat{CAH}=\widehat{EDH}$ 

Từ đó, ta sẽ chứng minh được $BP$ và $CQ$ lần lượt là hai đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH$,$BP$,$CQ$ đồng quyattachicon.giftriangle.png

 

Anh ơi! Chứng minh tam giác MHE vuông như thế nào vậy ạ.



#22 ThoiPhong

ThoiPhong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Đã gửi 05-06-2016 - 17:51

attachicon.giftriangle.png

Đường thẳng qua $H$ song song với $AC$ cắt $AB$ tại $M'$, đường thẳng qua $H$ song song với $AB$ cắt $AC$ tại $N'$. Từ đó, ta có $AM'HN'$ là hình bình hành $\Rightarrow$ $M'$,$O$,$N'$ thẳng hàng. $(1)$

Theo định lí Menelaus cho 3 điểm $S$,$D$,$E$ của $\Delta ABC$, ta có:

$\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}.\frac{DA}{DB}=1$.

Lại có $\frac{EC}{EA}=\frac{HC^{2}}{HA^{2}}$ và $\frac{DA}{DB}=\frac{HA^{2}}{HB^{2}}$ nên $\frac{SB}{SC}.\frac{HC^{2}}{HB^{2}}=1$. Mặt khác, theo định lí $Thales$, ta có $\frac{HC}{HB}=\frac{M'A}{M'B}=\frac{N'C}{N'A}$ nên ta có $\frac{SB}{SC}.\frac{M'A}{M'B}.\frac{N'C}{N'A}=1$. Do đó, theo định lí Menelaus đảo, ta có ba điểm $S$,$M'$,$N'$. $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có $S,M',O,N'$ thẳng hàng nên $M\equiv M'$ và $N\equiv N'$. Từ đó, ta sẽ chứng minh được các tứ giác $BDPH$ và $CEQH$ nội tiếp. Suy ra $BP$ và $CQ$ lần lượt là hai đường cao của $\Delta ABC$. Nên $BP,CQ,AH$ đồng qui.

Không có cách nào thuần túy dựa trên lý thuyết hình học cơ bản mà ra hả anh? Còn định lí Menelaus thì em chưa biết :). Không còn cách nào khác sao? Cách này thì em đọc rùi :)



#23 ThoiPhong

ThoiPhong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Đã gửi 06-06-2016 - 11:25

Câu 4c: Không còn cách nào thuần túy từ những kiến thức hình học cơ bản để chứng minh tứ giác BDPH và CEQH là tứ giác nội tiếp sao ạ. Bắt buộc phải dùng Menelaus sao ạ. Em xem rất nhiều cách giải và tất cả các cách đó đều dùng Menelaus. Chẳng lẽ người ra đề bài này chỉ cho bạn đọc chứng minh theo  Menelaus thôi ạ :)



#24 ldkhoi

ldkhoi

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 08-06-2016 - 07:04

Chào các bạn, mình giải câu 2 như thế này: 

 

Đặt $d = (x,y)$ và $x = da, y = db$ thì $(a,b) =1$ và phương trình trở thành $d (a-b)(a^2 + ab + b^2) = 95 (a^2 + b^2)$. 

 

Dễ thấy $a^2 + ab + b^2$ và $a^2 + b^2$ nguyên tố cùng nhau. Do đó $a^2 + ab + b^2 = (a-b)^2 + 3ab$ là ước của $95 = 5 \times 19$. Ước này chia 3 dư 0 hoặc 1, và lớn hơn 1 nên chỉ có thể là 19. 

 

Như vậy $(a-b)^2 + 3ab = 19$. 

 

Thử lần lượt với các số chính phương chia 3 dư 1, nhỏ hơn 19 là 1 và 4, ta suy ra $a-b =1, ab = 6$, do đó $a=3, b=2$. Từ đó suy ra $d = 65$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ldkhoi: 08-06-2016 - 07:06


#25 nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết, Bình Thuận.
  • Sở thích:mê Toán sơ cấp (ĐT: 01234533861)

Đã gửi 08-06-2016 - 15:22

attachicon.giftriangle.png

Đường thẳng qua $H$ song song với $AC$ cắt $AB$ tại $M'$, đường thẳng qua $H$ song song với $AB$ cắt $AC$ tại $N'$. Từ đó, ta có $AM'HN'$ là hình bình hành $\Rightarrow$ $M'$,$O$,$N'$ thẳng hàng. $(1)$

Theo định lí Menelaus cho 3 điểm $S$,$D$,$E$ của $\Delta ABC$, ta có:

$\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}.\frac{DA}{DB}=1$.

Lại có $\frac{EC}{EA}=\frac{HC^{2}}{HA^{2}}$ và $\frac{DA}{DB}=\frac{HA^{2}}{HB^{2}}$ nên $\frac{SB}{SC}.\frac{HC^{2}}{HB^{2}}=1$. Mặt khác, theo định lí $Thales$, ta có $\frac{HC}{HB}=\frac{M'A}{M'B}=\frac{N'C}{N'A}$ nên ta có $\frac{SB}{SC}.\frac{M'A}{M'B}.\frac{N'C}{N'A}=1$. Do đó, theo định lí Menelaus đảo, ta có ba điểm $S$,$M'$,$N'$. $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có $S,M',O,N'$ thẳng hàng nên $M\equiv M'$ và $N\equiv N'$. Từ đó, ta sẽ chứng minh được các tứ giác $BDPH$ và $CEQH$ nội tiếp. Suy ra $BP$ và $CQ$ lần lượt là hai đường cao của $\Delta ABC$. Nên $BP,CQ,AH$ đồng qui.

Có thể chứng minh như sau:

a. Ta có HDAE nội tiếp => $\angle ADE=\angle AHE = \angle ACB$ => đpcm

b. Từ câu a => $SB.SC=SD.SE=SH^2$ ($SH$ là tiếp tuyến của $(ADH)$)

c. Xét tam giác AHC, kẻ HN'//MN cắt AC tại N' ta dễ chứng minh $\frac{AN}{NC}=\frac{SH}{SC}$ (1)

Mà theo câu b ta có $SB.SC=SH^2$ <=> $SC.SB=SH.SC-SH^2$ <=> $SC.HB=SH.HC$ <=> $\frac{HB}{HC}=\frac{SH}{SC}$ (2)

(1), (2) => $\frac{AN}{NC}=\frac{HB}{HC}$ => $HN//AB$

Tương tự ta cũng chứng minh được: $MH//AC$

=> $\angle BHM + \angle EHC = \angle BCA + \angle EHC = 90^0$ => MH vuông góc với HE, tương tự NH vuông góc với HD

BDPH nội tiếp => BP vuông góc với MN => BP là đường cao, tương tự CQ là đường cao => đpcm.

Hình gửi kèm

  • ChuyenSP.jpg

$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#26 ledacthuong2210

ledacthuong2210

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải lăng
  • Sở thích:Toán,Tin học,Hóa Học,Vật lý,Khám phá.ok

Đã gửi 03-07-2016 - 13:02

Có thể chứng minh như sau:

a. Ta có HDAE nội tiếp => $\angle ADE=\angle AHE = \angle ACB$ => đpcm

b. Từ câu a => $SB.SC=SD.SE=SH^2$ ($SH$ là tiếp tuyến của $(ADH)$)

c. Xét tam giác AHC, kẻ HN'//MN cắt AC tại N' ta dễ chứng minh $\frac{AN}{NC}=\frac{SH}{SC}$ (1)

Mà theo câu b ta có $SB.SC=SH^2$ <=> $SC.SB=SH.SC-SH^2$ <=> $SC.HB=SH.HC$ <=> $\frac{HB}{HC}=\frac{SH}{SC}$ (2)

(1), (2) => $\frac{AN}{NC}=\frac{HB}{HC}$ => $HN//AB$

Tương tự ta cũng chứng minh được: $MH//AC$

=> $\angle BHM + \angle EHC = \angle BCA + \angle EHC = 90^0$ => MH vuông góc với HE, tương tự NH vuông góc với HD

BDPH nội tiếp => BP vuông góc với MN => BP là đường cao, tương tự CQ là đường cao => đpcm.

vì sao AN/NC=SH/sc. khó hiểu quá



#27 nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết, Bình Thuận.
  • Sở thích:mê Toán sơ cấp (ĐT: 01234533861)

Đã gửi 03-07-2016 - 13:15

c. Xét tam giác AHC, kẻ HN'//MN cắt AC tại N' ta dễ chứng minh $\frac{AN}{NC}=\frac{SH}{SC}$ (1)

$\frac{AN}{NC}=\frac{N'N}{NC}=\frac{SH}{SC}$ ($O$ là trung điểm của AH và $Thales$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 03-07-2016 - 13:16

$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh