Chủ đề này có 1 trả lời

[qnhipy001]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Tiếp tuyến tại A của (O;R) cắt đường thẳng BC tại M. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC.

a)Chứng minh $\frac{MB}{MC}=(\frac{AB}{AC})^{2}$

b) Trên BC lấy N tùy ý. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên AB,AC. Tìm vị trí N để độ dài EF nhỏ nhất

[doremon01]

a) $\Delta MAB\sim MCA(g-g)\Rightarrow \frac{MA}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{MA}\rightarrow MA^2=MB.MC$

$\frac{MA}{MC}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{MA^2}{MC^2}=\frac{AB^2}{AC^2}\Leftrightarrow \frac{MB.MC}{MC^2}=\frac{AB^2}{AC^2}\Leftrightarrow \frac{MB}{MC}=(\frac{AB}{AC})^{2}$

b) Kẻ HD,HG lần lượt $\perp$ AB,AC

Suy ra tứ giác ADHG nội tiếp$\rightarrow \angle HGD=\angle A_{1}; \angle HDG=\angle A_{2}$

Ta có: $\angle AEN=\angle AHN=\angle AFN=90^{o}$ nên 5 điểm A,E,H,N,F cùng thuộc đường tròn đường kính AN $\rightarrow \angle HFE=\angle A_1; \angle HEF=\angle A_2$

$\Delta HDG$ và $\Delta HEF$ có: $\angle HGD= \angle HFE(=\angle A_1)$;  $\angle HDG= \angle HEF(=\angle A_2)$

$\Rightarrow$$\Delta HDG \sim \Delta HEF$$\Rightarrow \frac{EF}{DG}=\frac{HE}{HD}\geq 1\Leftrightarrow EF\geq DG$ (cố định)

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow N\equiv H$

Vậy min EF=DH$\Leftrightarrow N\equiv H$

Hình gửi kèm

•