Chủ đề này có 3 trả lời

[thuytdvp]

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab.

CMR:   $\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4a^{2}+1}\geq \frac{1}{2}$

[tpdtthltvp]

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab.

CMR:   $\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4a^{2}+1}\geq \frac{1}{2}$

Đổi biến:

$$(a,b)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y})$$

Từ giả thiết suy ra:

$$x+y=4$$

Ta có: BĐT cần CM tương đương với:

$$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{y^2}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{4}{x^2}+1}\geq \frac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{y^2}{x(4+y^2)}+\frac{x^2}{y(4+x^2)}\geq \frac{1}{2}(1)$$

Áp dụng BĐT $Schwarz,$ ta có:

$$\sum \frac{x^2}{y(4+x^2)}\geq \frac{(x+y)^2}{4(x+y)+xy^2+x^2y}=\frac{16}{16+xy^2+x^2y}$$

Ta chỉ cần chứng minh:

$$xy^2+x^2y\leq 16\Leftrightarrow xy^2+x^2y\leq \frac{1}{4}(x+y)^3\Leftrightarrow xy^2+x^2y\leq x^3+y^3, \text{luôn đúng}$$

Do đó $(1)$ đúng. BĐT được chứng minh. Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=2\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

[Nguyenngoctu]

Ta có $\frac{a}{{4{b^2} + 1}} + \frac{b}{{4{a^2} + 1}} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow 8\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + 2\left( {a + b} \right) \ge 16{a^2}{b^2} + 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 1$. 

Ta có $8\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + 2\left( {a + b} \right) = 4\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + \left( {4{a^3} + a} \right) + \left( {4{b^3} + b} \right) + \left( {a + b} \right)$.

${a^3} + {b^3} \ge ab\left( {a + b} \right) = ab.4ab = 4{a^2}{b^2} \Rightarrow 4\left( {{a^3} + {b^3}} \right) \ge 16{a^2}{b^2}$.

$4{a^3} + a \ge 4{a^2};\,\,4{b^3} + b \ge 4{b^2} \Rightarrow \left( {4{a^3} + a} \right) + \left( {4{b^3} + b} \right) \ge 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$.

$a + b = 4ab \le {\left( {a + b} \right)^2} \Rightarrow a + b \ge 1$.

Do đó: $8\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + 2\left( {a + b} \right) = 4\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + \left( {4{a^3} + a} \right) + \left( {4{b^3} + b} \right) + \left( {a + b} \right) \ge 16{a^2}{b^2} + 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 1$. Xong!

[Dohuong1508]

a +b = 4ab >= 1 suy ra - 1/8ab >=-1/2. P = a/ (4b^2 + 1) + b/( 4a^2 + 1) >= a/ (4b^2+ 4ab) + b/ (4a^2 + 4ab) = a/ 4b(a + b) + b/ 4a(a + b) = a/4b.4ab + b/ 4a.4ab = 1/16( 1/a^2 + b^2) = (a^2 + b^2)/16a^2b^2 = ((a + b)^2 - 2ab)/ 16a^2b^2 = ( 16a^2b^2 - 2ab)/ 16a^2b^2 = 1 - 1/8ab >= 1 - 1/2 = 1/2