Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=ab+bc+ca$
Chứng minh rằng: $$\sum ab(a+b)(1+c)\geq 4\sum a$$
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=ab+bc+ca$
Chứng minh rằng: $$\sum ab(a+b)(1+c)\geq 4\sum a$$
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=ab+bc+ca$
Chứng minh rằng: $$\sum ab(a+b)(1+c)\geq 4\sum a$$
Áp dụng BĐT AM-GM dễ có $a+b+c\geq 3$
Từ điều kiện $ab+bc+ac=a+b+c$, biến đổi ta được BĐT cần CM tương đương với:
$(a+b+c)(a+b+c+2abc)\geq 4(a+b+c)+3abc$
BĐT trên luôn đúng vì ta có các điều sau:
1. $2abc(a+b+c)\geq 6abc$
2. BĐT Schur bậc $3$ : $(a+b+c)^3+3abc(a+b+c)\geq (a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ac)=4(a+b+c)^2$
hay $(a+b+c)^2+3abc\geq 4(a+b+c)$
Cộng theo vế ta có đpcm
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh