Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=1$.
Chứng minh: $$\sum \frac{(1-x)^{2}}{(1-yz)^{2}}\geq \frac{27}{16}$$
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=1$.
Chứng minh: $$\sum \frac{(1-x)^{2}}{(1-yz)^{2}}\geq \frac{27}{16}$$
Ta thấy bất đẳng thức đã cho tương đương với :
$\sum(\frac{(1-x)^2}{(1-yz)^2}-\frac{9}{16})=\sum(\frac{16(1-x)^2-9(1-yz)^2}{16(1-yz)^2})\geq 0 $
. Giả sử $x\geq y\geq z$
. Ta thấy :
$\frac{1}{(1-yz)^2}\leq \frac{1}{(1-xz)^2}\leq\frac{1}{(1-zx)^2}$
$16(1-x)^2-9(1-yz)^2\leq 16(1-y)^2-9(1-zx)^2\leq 16(1-z)^2-9(1-xy)^2$
Áp dụng bất đẳng thức chebysev cho hai dãy trên
Ta cần chứng minh
$\sum16(1-x)^2-9(1-yz)^2$
. Bất đẳng thức này khá lỏng
Chỉ cần sử dụng bất đẳng thức Schur bậc 3 : $(a+b+c)^3+9abc\geq 4(ab+bc+ca)(a+b+c)$
và bất đẳng thức : $\sum a^2b^2\geq abc(a+b+c)$
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh