Chủ đề này có 12 trả lời

[hien2000a]

Cho các số x,y,z dương thay đổi luôn thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

[githenhi512]

Cho các số x,y,z dương thay đổi luôn thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

$3-P=\sum (1-\frac{x}{x+1})=\sum \frac{1}{x+1}\geq \frac{9}{\sum x+3}=\frac{9}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}\Rightarrow Max P=0.75\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

[Nguyenngoctu]

$3-P=\sum (1-\frac{x}{x+1})=\sum \frac{1}{x+1}\geq \frac{9}{\sum x+3}=\frac{9}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}\Rightarrow Max P=0.75\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

We will prove $$\frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}} \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow 9{\rm{x}}yz + 5\sum {xy} + \sum x \le 3$$. It's true by $$xyz \le {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{27}};\,\,\sum {xy} \le \frac{{{{\left( {\sum x } \right)}^2}}}{3} = \frac{1}{3}$$. Done!

[tuanyeubeo2000]

Cho các số x,y,z dương thay đổi luôn thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

$ Ta\quad có\quad :\quad \sum { \frac { x }{ x+1 }  } \le \frac { 1 }{ 4 } (\sum { \frac { x }{ x+\frac { 1 }{ 3 }  } +\sum { \frac { x }{ \frac { 2 }{ 3 }  }  } )\quad \quad  } \\ \le \frac { 1 }{ 4 } (\sum { \frac { \sqrt { 3x }  }{ 2 } +\sum { \frac { 3x }{ 2 } )\le  }  } \frac { 1 }{ 4 } (\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } )=\frac { 3 }{ 4 }  $

[thantrunghieu202]

$ Ta\quad có\quad :\quad \sum { \frac { x }{ x+1 }  } \le \frac { 1 }{ 4 } (\sum { \frac { x }{ x+\frac { 1 }{ 3 }  } +\sum { \frac { x }{ \frac { 2 }{ 3 }  }  } )\quad \quad  } \\ \le \frac { 1 }{ 4 } (\sum { \frac { \sqrt { 3x }  }{ 2 } +\sum { \frac { 3x }{ 2 } )\le  }  } \frac { 1 }{ 4 } (\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } )=\frac { 3 }{ 4 }  $

Có phải bạn dùng cô-si biến thê 1/x+1/y>=4/(x+y) ko bạn 

[tuanyeubeo2000]

Có phải bạn dùng cô-si biến thê 1/x+1/y>=4/(x+y) ko 

chuẩn rồi

[thantrunghieu202]

chuẩn rồi

Mà sao lại biến đổi ra như vậy bạn làm từng bước post cho mình xem đi !!!

[Nguyenngoctu]

Mà sao lại biến đổi ra như vậy bạn làm từng bước post cho mình xem đi !!!

Dễ thôi bạn! Bạn có thể hiểu như thế này, ý tưởng là giống nhau:

$\[\frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}} = \sum {\frac{{x{{\left( {1 + 1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{16\left( {x + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \right)}}} \le \sum {\frac{x}{{16}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{\frac{1}{3}}}} \right)} = \frac{3}{{16}} + \frac{9}{{16}}\left( {x + y + z} \right) = \frac{3}{4}\]$.

[thantrunghieu202]

Dễ thôi bạn! Bạn có thể hiểu như thế này, ý tưởng là giống nhau:

$\[\frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}} = \sum {\frac{{x{{\left( {1 + 1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{16\left( {x + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \right)}}} \le \sum {\frac{x}{{16}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{\frac{1}{3}}}} \right)} = \frac{3}{{16}} + \frac{9}{{16}}\left( {x + y + z} \right) = \frac{3}{4}\]$.

Từ chỗ bước 2-3 là sao bạn vận dụng công thức nào nói rõ cho mình biết đi !!!  

[thantrunghieu202]

Ờ quên cái này Svac (shwarz) phải không 

[Nguyenngoctu]

BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel

[hien2000a]

$ Ta\quad có\quad :\quad \sum { \frac { x }{ x+1 }  } \le \frac { 1 }{ 4 } (\sum { \frac { x }{ x+\frac { 1 }{ 3 }  } +\sum { \frac { x }{ \frac { 2 }{ 3 }  }  } )\quad \quad  } \\ \le \frac { 1 }{ 4 } (\sum { \frac { \sqrt { 3x }  }{ 2 } +\sum { \frac { 3x }{ 2 } )\le  }  } \frac { 1 }{ 4 } (\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } )=\frac { 3 }{ 4 }  $

Ta\quad có\quad :\quad \sum { \frac { x }{ x+1 }  } \le \frac { 1 }{ 4 } (\sum { \frac { x }{ x+\frac { 1 }{ 3 }  } +\sum { \frac { x }{ \frac { 2 }{ 3 }  }  } )\quad \quad  } \\ \le \frac { 1 }{ 4 } (\sum { \frac { \sqrt { 3x }  }{ 2 } +\sum { \frac { 3x }{ 2 } )\le  }  } \frac { 1 }{ 4 } (\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } )=\frac { 3 }{ 4 }

làm sao ra được dòng này vậy bạn?

[KietLW9]

Xét: $\frac{x}{x+1}-\frac{9x+1}{16}=\frac{-(3x-1)^2}{16(x+1)}\leqslant 0\Rightarrow \frac{x}{x+1}\leqslant \frac{9x+1}{16}$

Tương tự rồi cộng lại: $VT\leqslant \frac{9(x+y+z)+3}{16}=\frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 25-04-2021 - 16:19