KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN LAM SƠN
Năm học 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN
( Dành cho thí sinh thi vào lớp 10 chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 06/06/2016
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1: (2 điểm)
a/ chứng minh rằng: $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2016\sqrt{2015}}> \frac{1931}{1975}$
b/ với $a\geq \frac{3}{8}$ chứng minh rằng $\sqrt[3]{3a-1+a\sqrt{8a-3}}+\sqrt[3]{3a-1-a\sqrt{8a-3}}=1$
Câu 2 ( 2 điểm)
a/ giải phương trình: $\frac{4x}{x^{2}+x+3}+\frac{5x}{x^{2}-5x+3}=\frac{-3}{2}$
b/ giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} & x^{8}y^{8}+y^{4}=2x & \\ & 1+x= x(1+y)\sqrt{xy} & \end{matrix}\right.$
Câu 3: ( 2điểm)
a/ tìm nghiệm nguyên (x;y) của phương trình: $(x+1)(x+2)(x+8)(x+9)=y^{2}$
b/ tìm các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn phương trình: $2016^{x}+2017^{y}=2018^{z}$
câu 4: (3 điểm)
Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm A cố định với OA=2R, BC là đường kính quay quanh O sao cho đường thẳng BC không đi qua A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AO tại I khác A. Các đường thẳng AB,AC cắt (O) lần lượt tại D và E. K là giao điểm của DE và AO
a/ chứng minh bốn điểm K,E,C,I cùng thuộc một đường tròn
b/ tính độ dài đoạn AI theo R
c/ chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua 1 điểm cố định khác A khi đường kính BC quay quanh (O)
câu 5: (1 điểm) một số tự nhiên được gọi là số thú vị nếu số đó có 10 chữ số đôi một khác nhau và là bội số của 11111. hỏi có tất cả bao nhiêu số thú vị