Chủ đề này có 7 trả lời

[doremon01]

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$Q=a^{2}(b-c)+b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)$

 

{có bạn nào có tài liệu về dạng bất đẳng thức này không cho mình xin với}

[81NMT23]

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$Q=a^{2}(b-c)+b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)$

 

{có bạn nào có tài liệu về dạng bất đẳng thức này không cho mình xin với

Giải nào:

Dễ thấy: $a^2(b-c)\leqslant 0\Rightarrow Q \leqslant b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)$

Áp dụng bđt Cauchy 3 số:$b^2(c-b)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}(c-b)\leqslant4.\frac{(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b)^3}{27}=\frac{4c^3}{27}$

$\Rightarrow P\leqslant\frac{4c^3}{27}+c^{2}(1-c)=c^2.(1-\frac{23c}{27})=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}(1-\frac{23c}{27}).\frac{2916}{529}\leqslant \frac{(\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27})}{27}.\frac{2916}{529}=\frac{108}{529}$ Suy ra min P=....

Dấu bằng khi $a=0;b=\frac{12}{23};c=\frac{18}{23}$

[thantrunghieu202]

Giải nào:

Dễ thấy: $a^2(b-c)\leqslant 0\Rightarrow Q \leqslant b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)$

Áp dụng bđt Cauchy 3 số:$b^2(c-b)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}(c-b)\leqslant4.\frac{(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b)^3}{27}=\frac{4c^3}{27}$

$\Rightarrow P\leqslant\frac{4c^3}{27}+c^{2}(1-c)=c^2.(1-\frac{23c}{27})=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}(1-\frac{23c}{27}).\frac{2916}{529}\leqslant \frac{(\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27})}{27}.\frac{2916}{529}=\frac{108}{529}$ Suy ra min P=....

Dấu bằng khi $a=0;b=\frac{12}{23};c=\frac{18}{23}$

Cái đoạn "Dễ thấy: 

a2(b−c)⩽

0" thì sau đó nếu dấu = xảy ra thì b=c chứ bạn ???

[81NMT23]

Cái đoạn "Dễ thấy: 

a2(b−c)⩽

0" thì sau đó nếu dấu = xảy ra thì b=c chứ bạn ???

Dấu bằng xảy ra khi a=0 hoặc  b=c

[thantrunghieu202]

Ờ quên đúng rồi mà bạn lấy nguồn ở đâu vậy phương pháp là sao nói rõ ra đi nếu có tài liệu chuyên đề thì cho mình với

[doremon01]

Ờ quên đúng rồi mà bạn lấy nguồn ở đâu vậy phương pháp là sao nói rõ ra đi nếu có tài liệu chuyên đề thì cho mình với

Bài tập này nằm trong đề ôn thi Tuyển sinh cô mình cho làm chứ không phải trong chuyên đề nào cả bạn, cho nên mình mới xin mấy bạn tài liệu về chuyên đề này vì mình chưa gặp dạng này bao giờ

[kisi]

. Nếu bạn học đạo hàm rồi thì dễ hơn, rất mạnh và dễ áp dụng, ví dụ bài này:

 

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$Q=a^{2}(b-c)+b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)$

 

{có bạn nào có tài liệu về dạng bất đẳng thức này không cho mình xin với}

 Đặt $Q=f(a)$

$f'(a)=2(b-c)$

Mà $b\leq c$ nên $f'(a)\leq 0$, hàm này là hàm nghịch biến vậy $f(a)$ max khi $a$ min tức $a=0$

$\Rightarrow Q\leq  b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)=g(b)$

$g'(b)=2bc-3b^2$

Kết hợp giả thiết thì $g'(b)=0 \Leftrightarrow b=0$ hoặc $b=\frac{2c}{3}$

Vậy hàm đồng biến trên $[0,\frac{2c}{3})$ và nghịch biến trên $[\frac{2c}{3};1]$

$\Rightarrow Q\leq g(b)\leq g(\frac{2c}{3})=\frac{-23c^3+27c^2}{27}=h(c)$

$h'(c)=0\Leftrightarrow -69c^2+54c=0\Leftrightarrow c=0$ hoặc $c=\frac{18}{23}$

$h(c)\leq max(h(0),h(1),h(18/23))=h(18/23)=\frac{108}{529}$

Dấu bằng giống bạn ở trên.

Nếu không nắm rõ cách trình bày thì bạn chỉ cần dùng đạo hàm để tìm điểm rơi sau đó sử dụng bất đẳng thức cổ điển giống bạn thantrunghieu202, hoặc tách như sau:

$Q=a^2(b-c)-(\frac{c}{3}+b)(b-\frac{2c}{3})^2-\frac{(23c+9)(23c-18)^2}{14283}+\frac{108}{529}\leq \frac{108}{529}$

Lên google tìm thêm tài liệu nhé bạn =)))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kisi: 08-06-2016 - 19:47

[KhoaTran]

cho thêm bài tập như v đi bạn