Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr: $\sum \frac{(a+b^2)}{c^2+ab}\ge 6$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 07-06-2016 - 08:22

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:

$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TanSan26: 07-06-2016 - 08:29

                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 07-06-2016 - 10:57

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:

$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz, ta được:
$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}=\sum \frac{(a+b)^4}{(a+b)^2(c^2+ab)}\geq \frac{((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)^2}{(a+b)^2(c^2+ab)+(b+c)^2(a^2+bc)+(c+a)^2(b^2+ca)}\geq 6$
$\Leftrightarrow 4(\sum a^2+\sum ab)^2\geq 6(4\sum a^2b^2+(\sum ab)(\sum a^2)+abc(\sum a))$
Rút gọn, ta được:
$2\sum a^4+2abc\sum a+\sum ab(a^2+b^2)\geq 6\sum a^2b^2$
Theo bđt Schur bậc 4, ta có: 
$2\sum a^4+2abc\sum a\geq \sum ab(a^2+b^2)$
Theo bđt AM-GM, ta có:
$3\sum ab(a^2+b^2)\geq 6\sum a^2b^2$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c. 


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#3 Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-06-2016 - 11:58

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:

$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$

chuẩn hóa $\sum a^2=3$

bđt $\leftrightarrow \sum \frac{1-c^2}{c^2+3} \ge 0$

vì bđt đối xứng nên giả sử $a \ge b \ge c$

$\rightarrow 1-c^2 \ge 1-b^2 \ge 1-a^2$ và $\frac{1}{3+c^2} \ge \frac{1}{3+b^2} \ge \frac{1}{3+a^2}$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ đơn điệu cùng chiều trên ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 07-06-2016 - 19:38


#4 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 07-06-2016 - 14:04

chuẩn hóa $\sum a=3$

bđt $\leftrightarrow \sum \frac{(3-c)^2}{c^2+ab} \ge \sum (4-\frac{16c^2}{5c^2-6c+9}) \ge 6$

do đó cần cm $4-\frac{16c^2}{5c^2-6c+9} \ge 5-3c \leftrightarrow (c-1)^2(5c-3) \ge 0$ luôn đúng với mọi $c \in [0;1]$

thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại ta được đpcm

5c-3 luôn >=0 đâu  :lol:


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#5 Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-06-2016 - 16:51

5c-3 luôn >=0 đâu  :lol:

mình sửa lại rồi  :icon6:



#6 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 08-06-2016 - 07:46

chuẩn hóa $\sum a^2=3$

bđt $\leftrightarrow \sum \frac{1-c^2}{c^2+3} \ge 0$

vì bđt đối xứng nên giả sử $a \ge b \ge c$

$\rightarrow 1-c^2 \ge 1-b^2 \ge 1-a^2$ và $\frac{1}{3+c^2} \ge \frac{1}{3+b^2} \ge \frac{1}{3+a^2}$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ đơn điệu cùng chiều trên ta có đpcm

Bạn biến đổi cái dòng đầu tiên kiểu gì thế ?  :mellow:


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#7 Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2016 - 09:54

Bạn biến đổi cái dòng đầu tiên kiểu gì thế ?  :mellow:

$\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}-2=\frac{3-c^2+2ab-2c^2-2ab}{c^2+ab} \ge \frac{6(1-c^2)}{c^2+3}$



#8 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 08-06-2016 - 10:24

$\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}-2=\frac{3-c^2+2ab-2c^2-2ab}{c^2+ab} \ge \frac{6(1-c^2)}{c^2+3}$

Cho $c=\sqrt{2},b=a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $\frac{3(1-c^2)}{c^2+ab}-\frac{3(1-c^2)}{c^2+3}=\frac{-3}{5}<0$  :icon6: 
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 08-06-2016 - 10:25

                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#9 Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2016 - 10:32

Cho $c=\sqrt{2},b=a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $\frac{3(1-c^2)}{c^2+ab}-\frac{3(1-c^2)}{c^2+3}=\frac{-3}{5}<0$  :icon6: 
 

bạn coi lại cái bôi đỏ đi

nếu cho $c^2=2,6$ thì sai thật  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 08-06-2016 - 10:45


#10 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 08-06-2016 - 13:24

bạn coi lại cái bôi đỏ đi

nếu cho $c^2=2,6$ thì sai thật  :icon6:

Thế là bạn làm sai à ?  :lol:


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#11 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-06-2016 - 12:12

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:

$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$

Ta có đẳng thức

\[\sum {\frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{{a^2} + bc}}}  - 6 = \frac{\displaystyle {{{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {b - c} \right)}^2}{{\left( {c - a} \right)}^2} + \sum {ab{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}} }}{{\left( {{a^2} + bc} \right)\left( {{b^2} + ca} \right)\left( {{c^2} + ab} \right)}}.\] Từ đó suy ra điều phải chứng minh.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh