Chủ đề này có 1 trả lời

[mathstu]

chứng minh tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}+y^{2}+1=3xy$  là $(x,y)=(F_{2k-1},F_{2k+1})$

với  $F_{n}$ là dãy Fibonacci

[Chris yang]

chứng minh tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}+y^{2}+1=3xy$  là $(x,y)=(F_{2k-1},F_{2k+1})$

với  $F_{n}$ là dãy Fibonacci

Giải như sau:

 

Với dãy Fibonacci ta có hai tính chất quen thuộc là $F_{m+n}=F_{m-1}F_n+F_mF_{n+1}$ và $F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$

Từ đó, biến đổi ta suy ra $F_{2k+1}=3F_{2k-1}-F_{2k-3}$.Xét dãy $(a_n)$ xác định bởi $ \left\{\begin{matrix}a_1=1,a_2=1\\ a_{n+1}=3a_n-a_{n-1}\end{matrix}\right.$

 

Ta sẽ chứng minh tất cả nghiệm $(x,y)$ của phương trình $x^2+y^2+1=3xy$ sẽ thuộc dãy trên. Dễ thấy $x=y=a_1=a_2=1$ là nghiệm nhỏ nhất. Theo định lý Viete, nếu $(x,y)$ là nghiệm của phương trình trên thì $(3y-x,y)$ cũng là nghiệm. Tương đương với khi ta có $(a_1,a_2)$ là nghiệm thì $(3a_2-a_1,a_2)$ hay $(a_2,a_3)$ cũng là nghiệm..... Cứ tiếp tục như vậy ta có $(a_n,a_{n+1})$ là nghiệm của phương trình trên.  

 

Giờ ta chỉ cần chỉ ra không có nghiệm nào của phương trình nằm ngoài dãy $(a_n)$

 

Phản chứng: Giả sử tồn tại $(x,y)$ cũng là nghiệm cả $(\star)$ nhưng thuộc dãy trên. Những cặp như thế này thuộc tập tạm gọi là $S$. Theo nguyên tắc cực hạn ta chọn được một cặp $(x_i,y_i)$ sao cho $x_i+y_i$ nhỏ nhất. TH $x=y$ chỉ cho ra 1 cặp $x=y=1$ thuộc dãy $(a_n)$ nên giả sử $x>y$. Xét PT $x^2-3xy_i+y_i^2+1=0$. Áp dụng định lý Viete ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_i+x_i'=3y_i\\ x_ix_i'=y_i^2+1\end{matrix}\right.\Rightarrow x_i'=3y_i-x_i=\frac{y_i^2+1}{x_i}<x_i$ ( do $x_i>y_i$)

Suy ra bộ $(3y_i-x_i,y_i)\not\in S$ vì tính nhỏ nhất của $x_i+y_i$, tức là $(3y_i-x_i,y_i) $ thuộc dãy $(a_n)$, hay tồn tại $k$ sao cho $3y_i-x_i=a_k,y_i=a_{k+1}$

$\Rightarrow x_i=3a_{k+1}-a_k=a_{k+2}$ ( vô lý vì bộ $(x_i,y_i)\not\in (a_n)$

 

Do đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 19-06-2016 - 21:38