Chủ đề này có 1 trả lời

[babystudymaths]

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x, y, z) thoả mãn

$3^{x}- 2^{y}= 19^{z}$

[Chris yang]

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x, y, z) thoả mãn

$3^{x}- 2^{y}= 19^{z}$

Thấy rằng $x\geq 2$ nên $19^z+2^y\equiv 1+2^y\equiv 0\pmod 9$ kéo theo $y\equiv 3\pmod 6$ suy ra $y\geq 3$

Khi đó $3^x-19^z\equiv (-1)^x-(-1)^z\equiv 0\pmod 4$ nên $x,z$ cùng tính chẵn lẻ

TH1: $x,z$ cùng chẵn. Đặt $x=2m,z=2n$ thì $(3^m-19^n)(3^m+19^n)=2^y$. Dễ dàng giải PT tích trên ta không thu được nghiệm nào thỏa mãn

TH2: $x,z$ cùng lẻ

Ta có $19^z+2^y=3^x\equiv 0\pmod {27}$. Xét modulo $6$ cho $z$ ta có $z$ có dạng $6k+1,6k+5$ ( trường hợp $z=6k+3$ kéo theo $7|3^x$ - vô lý). Xét modulo $18$ cho $y$ do $y\equiv 3\pmod 6$ nên $y$ có dạng $18l+3,18l+9,18l+15$. Thử ta thu được bộ $(z,y)=(6k+1,18l+3)$ và $(z,y)=(6k+5,18l+15)$

+) Nếu $(z,y)=(6k+5,18l+15)$ thì $3^x\equiv 4\pmod 7$. Xét modulo $6$ cho $x$ ta thu đươc $x\equiv 4\pmod 6$ ( vô lý vì $x$ chẵn)

+) Nếu $(z,y)=(6k+1,18l+3)$ thì $3^x\equiv -1\pmod 7$ kéo theo $3|x$

Như vậy, $3|x,y$ nên đặt $x=3t,y=3k$. Ta có  $(3^t-2^k)(3^{2t}+3^t2^k+2^{2k})=19^z$. 

Bằng cách đặt $3^t-2^k=19^u, 3^{2t}+3^t2^k+2^{2k}=19^v$ $(1)$ ta thu được phương trình $3^t-2^k=1$. Đây là một phương trình quen thuộc có nghiệm $(t,k)=(1,1),(2,3)$. Thử lại với $(1)$ ta được $(t,k)=(1,1)$ tức $(x,y)=(3,3)$

Vậy bộ $(x,y,z)=(3,3,1)$